Question

10．已知一質(zhì)點(diǎn)X方向做變加速直線運(yùn)動(dòng)，已知其初速度為v₀，加速度方向與初速度方向相同．
（1）若其加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均為常量，求當(dāng)t=t₀時(shí)（a≠0）質(zhì)點(diǎn)的速率
（2）若其加速度隨位移的變化關(guān)系為a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均為常量，求當(dāng)x=x₀時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率．

Answer 1

分析 （1）將加速度用速度和時(shí)間的變化量來表示，然后化簡得到速度和時(shí)間的變化量關(guān)系式，再對(duì)其進(jìn)行累加即可求解；
（2）將加速度用位移和時(shí)間的變化量來表示，然后化簡得到位移和時(shí)間的變化量關(guān)系式，再對(duì)其進(jìn)行累加即可求解．

解答 解：（1）加速度$a=\frac{△v}{△t}={a}_{0}-kt$，那么，△v=a₀△t-kt△t=$a△t-\frac{1}{2}k△{t}^{2}$，所以，當(dāng)t=t₀時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率$v={v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）加速度$a=\frac{△v}{△t}=\frac{△x}{△t}•\frac{△v}{△x}=\frac{v△v}{△x}=\frac{\frac{1}{2}△{v}^{2}}{△x}={a}_{0}+kx$，那么，$△{v}^{2}=2{a}_{0}△x+2kx△x=2{a}_{0}△x+k△{x}^{2}$，所以，當(dāng)x=x₀時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$；
答：（1）若其加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均為常量，則當(dāng)t=t₀時(shí)（a≠0）質(zhì)點(diǎn)的速率為${v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）若其加速度隨位移的變化關(guān)系為a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均為常量，則當(dāng)x=x₀時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 在變速運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題上，我們要熟悉速度、加速度、位移互相之間的關(guān)系式，并能對(duì)其進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．