Question

9．已知下列數(shù)據(jù)：
①地面附近物體的重力加速度g；
②地球半徑R；
③月球與地球兩球心間的距離r；
④地球的第一宇宙速度v；
⑤月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T1；
⑥地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T₂；
⑦萬有引力常量G．
不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)計(jì)算地球的密度ρ．（要求給出兩種方法）

Answer 1

分析 方法一：根據(jù)地球表面重力加速度和地球半徑，求出地球質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求地球密度；
方法二：根據(jù)地球的第一宇宙速度和地球半徑求出地球質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求地球密度；
方法三：根據(jù)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離求出地球質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求地球密度

解答 解：方法一：根據(jù)萬有引力定律，在地球表面附近有萬有引力等于重力$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
則密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
方法二：在地球表面附近，物體繞地球運(yùn)動(dòng)可近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
而密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$
方法三：月球繞地球運(yùn)動(dòng)可近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力定律$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}r$
則密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
解得：$ρ=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：地球的密度可表示為$\frac{3g}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點(diǎn)評(píng) 本題抓住在地球附近重力與萬有引力相等，繞地球運(yùn)動(dòng)的天體向心力由萬有引力提供依次列式計(jì)算求中心天體的質(zhì)量．掌握規(guī)律是解題關(guān)鍵．