Question

1．如圖，兩條豎直放置的平行光滑導(dǎo)軌，間距為L，導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C．導(dǎo)軌處于水平向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，緊貼導(dǎo)軌水平放置一質(zhì)量為m的金屬棒，由靜止釋放且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸．已知重力加速度大小為g，忽略所有電阻．求：
（1）電容器所帶電量Q與金屬棒速度v大小的關(guān)系；
（2）通過必要的推理過程判定金屬棒在下滑過程中做何種運(yùn)動(dòng)；
（3）設(shè)平行板電容器板間距離為d，棒開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)在電容器兩板間靠近右極板處由靜止釋放一質(zhì)量為m₀、電量為q的正電粒子（不計(jì)重力），求t₀時(shí)刻（此時(shí)，粒子沒有到達(dá)左極板）粒子的速度v₀．

Answer 1

分析 （1）電容器兩端的電壓等于導(dǎo)體棒兩端的電壓，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和電容的計(jì)算公式求解；
（2）根據(jù)動(dòng)量定理和q=It結(jié)合電容的計(jì)算公式列方程可得加速度a為定值，由此判斷金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況；
 （3）對于帶正電的粒子，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達(dá)式，作出加速度和時(shí)間關(guān)系圖象，根據(jù)圖象面積表示的物理意義求解．

解答 解：（1）電容器兩端的電壓等于導(dǎo)體棒兩端的電壓，即為：U=BLv，
根據(jù)電荷量與電壓的關(guān)系可得：Q=CU=CBLv；
（2）設(shè)金屬棒的速度大小為v時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t，通過金屬棒的平均電流為I，根據(jù)動(dòng)量定理可得：
mgt-BILt=mv，
其中Q=It=CBLv，
解得：v=$\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}•t$，
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間關(guān)系v=at可得：a=$\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}$．則知加速度a為定值，金屬棒向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；
 （3）對于帶正電的粒子，根據(jù)牛頓第二定律可得：$q\frac{U}nr9vfzf={m}_{0}a′$，
其中U=BLv=BLat，
解得：a′=$\frac{qBL}{{m}_{0}d}•\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}•t$，
即粒子運(yùn)動(dòng)的加速度與時(shí)間成正比，作出a′-t圖象如圖所示，

根據(jù)圖象可得：v₀=$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{0}$=$\frac{qBLmg{t}_{0}^{2}}{2{m}_{0}d（m+{B}^{2}{L}^{2}C）}$．
答：（1）電容器所帶電量Q與金屬棒速度v大小的關(guān)系為Q=CBLv；
（2）金屬棒在下滑過程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；
（3）t₀時(shí)刻粒子的速度為$\frac{qBLmg{t}_{0}^{2}}{2{m}_{0}d（m+{B}^{2}{L}^{2}C）}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．