Question

如圖7-7-5所示，離地高為H的物體A通過(guò)跨在定滑輪上的輕繩與放在光滑水平桌面上、質(zhì)量和A相同的物體B連接，由靜止開(kāi)始下落和從同一高度單獨(dú)自由下落這兩種情況下，A離地面的高度h分別為多少時(shí)，它的動(dòng)能與勢(shì)能相等？（設(shè)B沒(méi)有滑離桌面）

圖7-7-5

Answer 1

A物體動(dòng)能與勢(shì)能相等時(shí)離地面的高度分別為和.

當(dāng)物體A單獨(dú)自由下落時(shí)，由于只有重力做功，A的機(jī)械能守恒.當(dāng)A通過(guò)繩子連接B后再下落時(shí)，若選A（包括地球）為研究對(duì)象，則繩對(duì)A的拉力是系統(tǒng)之外的力，而且該力對(duì)A做了功，則A的機(jī)械能不守恒；若以A、B連接體（包括地球）組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，繩的拉力為內(nèi)力，且對(duì)A和B做功的代數(shù)和為零，B物體在豎直方向上所受的一對(duì)平衡力沒(méi)有做功，故該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有A的重力做功，滿足機(jī)械能守恒的條件.因此本題可運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解：
取地面為零勢(shì)能參考平面，設(shè)A離地高度為h時(shí)，其動(dòng)能等于勢(shì)能，則有

當(dāng)A物體單獨(dú)自由下落時(shí)，初始機(jī)械能為E₁=mgH，末態(tài)時(shí)機(jī)械能為，由機(jī)械能守恒E₂=E₁得mgH=2mgh.
所以
當(dāng)A通過(guò)繩子連接B后再由靜止下落時(shí)，設(shè)桌面高為H′，則初態(tài)系統(tǒng)的機(jī)械能為E₁=mgH+mgH′，末了狀態(tài)系統(tǒng)的機(jī)械能為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得E₂=E₁，即

將代入上式，解得

即兩種情況下，A物體動(dòng)能與勢(shì)能相等時(shí)離地面的高度分別為和.