Question

（2011?椒江區(qū)模擬）宇航員在某一未知星球表面完成下面實驗：如圖所示，在固定的豎直光滑圓弧軌道內(nèi)部的最低點，有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點），現(xiàn)給小球水平初速度v₀，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，測得小球在最高點和最低點時所受壓力大小分別為F₁、F₂．然后他在攜帶的資料中發(fā)現(xiàn)這樣的信息：在該星球赤道上有相距路程為L的A、B兩位置，當某一時刻陽光垂直照射A處時，B處的陽光與星球表面成θ角．請你幫他完成如下計算：
（1）求出該星球表面的重力加速度；
（2）求出該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)最高點和最低點時所受壓力大小，由運動的過程中機械能守恒以及利用在最高點和最低點合力提供向心力，求出重力加速度．
（2）根據(jù)A、B兩位置相距的路程及太陽光垂直照射A處時，B處的陽光與星球表面所成的角度，求出星球的半徑，第一宇宙速度的軌道半徑等于星球的半徑，根據(jù)表面所受的重力提供向心力，求出第一宇宙速度．

解答：解：（1）由題意根據(jù)合力提供向心力：
在最低點：F1-mg=m

v02

r

在最高點：F2+mg=m

v2

r

根據(jù)機械能守恒得：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg2r

解得g=

F1-F2

6m

故星球表面的重力加速度為

F1-F2

6m

．
（2）根據(jù)A、B兩點的日照情況可計算出該星球的半徑R=

L

π 2 -θ

用v表示該星球的第一宇宙速度，有
      mg=m

v2

R

得v=

gR

=

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

故星球的第一宇宙速度為

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩知識點．以及知道圓周運動的最高點和最低點是合力提供向心力．