Question

（1）如圖1，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等．現(xiàn)突然給左端小球一個向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時，每個小球的速度．
（2）如圖2，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時它的彈性勢能為E₀．其余各振子間都有一定的距離，現(xiàn)解除對振子1的鎖定，任其自由運動，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長度時，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時與下一個振子相碰．求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個振子彈性勢能的最大值．已知本題中兩球發(fā)生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

（1）設(shè)每個小球質(zhì)量為m，以u₁、u₂分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩端小球的速度．
由動量守恒和能量守恒定律有
mu₁+mu₂=mu₀（以向右為速度正方向）

1

2

m

u

21

+

1

2

m

u

22

=

1

2

m

u

20

解得u₁=u₀，u₂=0或u₁=0，u₂=u₀
由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取u₁=0，u₂=u₀
即彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時，左側(cè)小球速度為0，右側(cè)小球速度為u₀．
（2）以v₁、v₁′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，
由動量守恒和能量守恒定律，
mv₁+mv₁′=0

1

2

m

v

21

+

1

2

mv

′

21

=E0
解得
v1=

E0 m

，v1′=-

E0 m

或v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為v₁，此后兩小球都向左運動，當(dāng)它們向左的速度相同時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設(shè)此速度為v₁₀，根據(jù)動量守恒定律：
2mv₁₀=mv₁
用E₁表示最大彈性勢能，由能量守恒有

1

2

m

v

210

+

1

2

m

v

210

+E1=

1

2

m

v

21

解得        
E1=

1

4

E0
振子2 被碰撞后瞬間，左端小球速度為

E0 m

，右端小球速度為0．以后彈簧被壓縮，當(dāng)彈簧再恢復(fù)到自然長度時，根據(jù)（1）題結(jié)果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度v2′=

E0 m

，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變?yōu)?，振子2靜止，彈簧為自然長度，彈性勢能為E₂=0．
同樣分析可得
E₂=E₃=…E_N-1=0
振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度 v′N-1=

E0 m

，右端小球速度為0，彈簧處于自然長度．此后兩小球都向右運動，彈簧被壓縮，當(dāng)它們向右的速度相同時，彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大．此速度為v_N0，根據(jù)動量守恒定律，
2mv_N0=mv?_N-1
用E_N表示最大彈性勢能，根據(jù)能量守恒，有

1

2

m

v

2N0

+

1

2

m

v

2N0

+EN=

1

2

m

v

2N-1

解得       
 EN=

1

4

E0
故所有可能的碰撞都發(fā)生后第一個彈簧振子的最大彈性勢能為

1

4

E0，第二個到第N-1個彈簧振子的最大彈性勢能為0，第N個彈簧振子的最大彈性勢能為

1

4

E0．