Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距為l，第一四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．在極板P上方沿y軸方向放置一熒光屏．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子，在0--8t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在2t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）
（1）求粒子的初速度及電壓的大��；
（2）求

t0

2

時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及時(shí)間；
（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子打在熒光屏的位置最高，求此位置距上極板P的距離．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)求出粒子的初速度，在0～2t₀時(shí)間內(nèi)沿電場(chǎng)方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，抓住豎直位移等于

l

2

求出電壓的大�。�
（2）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中靠洛倫茲力提供向心力，求出軌道半徑的大小，結(jié)合圓心角求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）根據(jù)半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子以不同夾角射入磁場(chǎng)時(shí)的偏移量，從而確定何時(shí)打在熒光屏上的位置最高，結(jié)合幾何關(guān)系求出此位置距上極板P的距離．

解答：解：（1）粒子在垂直電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則
粒子的初速度v0=

l

2t0

，
設(shè)粒子剛出極板間時(shí)豎直方向上的分速度為v_y，有

l

2

=

vy

2

t0+vyt0
則粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)豎直方向上的偏移y=

vy

2

t0=

i

6

又y=

1

2

?

qU

ml

t02
解得U0=

ml2

3qt02

．
（2）

t0

2

時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子，在

5

2

t0時(shí)刻離開(kāi)極板．
其在y方向上的速度vy=

1

2

at0-

1

2

at0=0．
故粒子以v₀垂直與y軸方向進(jìn)入磁場(chǎng)，
根據(jù)qv0B=m

v02

R

得，R=

mv0

qB

=

ml

2qBt0

．
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

T

2

=

πm

qB

．
（3）與x軸方向成α角進(jìn)入磁場(chǎng)中帶電粒子的速度為v=

v0

cosα

．
其軌道半徑R=

mv

qB

經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，再次經(jīng)過(guò)y軸向上的偏移量△y=2Rcosα．
可解得△y=

ml

qBt0

，可見(jiàn)沿y軸向上的偏移量與進(jìn)入磁場(chǎng)的方向無(wú)關(guān)．
根據(jù)對(duì)稱性知，在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入極板間的粒子，在t=4t₀時(shí)刻經(jīng)上極板的邊緣射入磁場(chǎng)，打在熒光屏上的位置最高．
距上極板P的距離△y=

ml

qBt0

．
答：（1）粒子的初速度為v0=

l

2t0

，電壓的大小為U0=

ml2

3qt02

．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為

ml

2qBt0

，時(shí)間為

πm

qB

．
（3）在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入極板間的粒子，在t=4t₀時(shí)刻經(jīng)上極板的邊緣射入磁場(chǎng)，打在熒光屏上的位置最高．距上極板P的距離△y=

ml

qBt0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出規(guī)律，即能輕松求解．