Question

如圖所示，豎直光滑的桿子上套有一滑塊A，滑塊通過(guò)細(xì)繩繞過(guò)光滑滑輪連接物塊B，B又通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接物塊C，C靜止在地面上．開(kāi)始用手托住A，使繩子剛好伸直處于水平位置但無(wú)張力，現(xiàn)將A由靜止釋放，當(dāng)速度達(dá)到最大時(shí)，C也剛好同時(shí)離開(kāi)地面，此時(shí)B還沒(méi)有到達(dá)滑輪位置．已知：m_A=1.2kg，m_B=1kg，m_c=1kg，滑輪與桿子的水平距離L=0.8m．試求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)
（2）A、B的最大速度是多少．

Answer 1

（1）當(dāng)A速度達(dá)到最大時(shí)，即加速度等于0的時(shí)候，此時(shí)C也剛好同時(shí)離開(kāi)地面，那么對(duì)B和C整體分析只有繩子拉力和重力，因此此時(shí)繩子拉力
T=m_Bg+m_Cg=2×10N=20N
A下降過(guò)程受力分析如圖

當(dāng)A的速度最大加速度等于0時(shí)，即Tcosθ=m_Ag，計(jì)算得：θ=53°
假設(shè)A下降的高度為h，則根據(jù)幾何關(guān)系可得：tanθ=

L

h

，
帶入得：h=

3

4

L=0.6m
根據(jù)幾何關(guān)系如上圖，A下降0.6m時(shí)定滑輪到A的距離為 s=

L

sin53°

=1m
那么繩子拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度也就是B上升的高度就是h_B=s-L=0.2m
初始狀態(tài)，繩子無(wú)張力，對(duì)B分析有kx₁=m_Bg，彈簧的壓縮量 x₁=

10

k

末狀態(tài)，C剛好離開(kāi)地面，對(duì)C分析有kx₂=m_Cg，即彈簧的伸長(zhǎng)量 x₂=

10

k

根據(jù)幾何關(guān)系得：x₁+x₂=h_B
代入計(jì)算得：2×

10

k

=0.2
解得 k=100N/m
（2）由第二問(wèn)可知，初狀態(tài)彈簧壓縮x₁=

10

k

=0.1m和末狀態(tài)彈簧拉伸x₂=

10

k

=0.1m，彈簧彈性勢(shì)能沒(méi)有變化，那么在此過(guò)程中ABC和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有
E_p=m_Bg（x₁+x₂）-m_Agh+

1

2

mB

v

2B

+

1

2

mA

v

2A

+E_p
有幾何關(guān)系可得AB的速度關(guān)系有 v_Acosθ=v_B
帶入計(jì)算得v_A=

2 15

3

m/s，v_B=

2 15

5

m/s，
答：
（1）彈簧的勁度系數(shù)為100N/m．
（2）A、B的最大速度分別是

2 15

3

m/s、

2 15

5

m/s．