Question

水平地面上有一個(gè)半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺(tái)邊緣上P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L(zhǎng)（L＞R），P′AOC各點(diǎn)均在同一水平直線上，如圖所示．一輛小車(chē)以速率 v在跑道上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，小沙袋、小車(chē)均可視為質(zhì)點(diǎn)．則
（1）若從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車(chē)中，小沙袋被拋出時(shí)的初速度應(yīng)滿足什么條件？
（2）若小車(chē)經(jīng)過(guò)跑道上A點(diǎn)時(shí)（∠AOB=90°），現(xiàn)從P點(diǎn)瞄準(zhǔn)B點(diǎn)以某一水平初速度拋出小沙袋，使其落入小車(chē)中，則小沙袋被拋出時(shí)的初速度V₁應(yīng)滿足什么條件？小車(chē)的速率 v應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度h，求出時(shí)間．要使沙袋落入小車(chē)中，沙袋的水平位移大小應(yīng)滿足：L-R≤x≤L+R，而x=v₀t，即可求出小沙袋被拋出時(shí)的初速度應(yīng)滿足的條件．
（2）要使在小車(chē)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，小沙袋落入小車(chē)中，小沙袋的水平位移大小應(yīng)為

L2+R2

，而平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不變，即可求出小沙袋被拋出時(shí)的初速度．在小沙袋做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，小車(chē)通過(guò)的路程可能為s=2π(n+

1

4

)R，由v=

s

t

求解小車(chē)的速率v．

解答：解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t、沙袋被拋出時(shí)的初速度為v₁，則
  h=

1

2

gt2
得 t=

2h g

L-R≤v₀t≤L+R
解得  

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）當(dāng)沙袋落在B點(diǎn)時(shí)
h=

1

2

gt2
即

L2+R2

=v1t
小沙袋被拋出時(shí)的初速度為
  v1=

L2+R2

2h g

小車(chē)的速率為
  v=

2π(n+ 1 4 )R

t

（n=0、1、2…）
將t=

2h g

代入得
   v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）
答：（1）小沙袋被拋出時(shí)的初速度應(yīng)滿足的條件是

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）小沙袋被拋出時(shí)的初速度為v1=

L2+R2

2h g

，小車(chē)的速率v應(yīng)滿足的條件是v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）．

點(diǎn)評(píng)：本題要分別研究沙袋和小車(chē)的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是抓住兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系和小車(chē)運(yùn)動(dòng)的周期性．