Question

如圖所示，空間某平面內(nèi)有一條折線是磁場(chǎng)的分界線，在折線的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．折線的頂角∠A=90°，P、Q是折線上的兩點(diǎn)，AP=AQ=L．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計(jì)微粒的重力．
（1）若P、Q間外加一與磁場(chǎng)方向垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)，能使速度為v₀射出的微粒沿PQ直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，求其電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）撤去電場(chǎng)，為使微粒從P點(diǎn)射出后，途經(jīng)折線的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn)，求初速度v應(yīng)滿足什么條件？
（3）求第（2）中微粒從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)所用時(shí)間的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（3）由n取奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況下，結(jié)合圓心角，從而求出時(shí)間．

解答：解：（1）由電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡得：qE=qv₀B
解得：E=v₀B   方向豎直向下 
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，微粒能從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，應(yīng)滿足：L=nx   
其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

π

2

或

3π

2

．
設(shè)圓弧的半徑為R，由幾何得：2R²=x²，可得：R=

L

2 n

      
 又由qvB=

mv2

R

 
解得：v=

qBL

2 m?n

，（n=1、2、3、…）      
（3）當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程中圓心角的總和為

θ1=n?

π

2

+n

3π

2

=2nπ，
t1=2nπ?

m

qB

=

2πm

qB

?n，（其中n=1、3、5、…）
當(dāng)n=1時(shí)  tmin=

2πm

qB

當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程中圓心角的總和為：
θ2=n?

π

2

+n

π

2

=nπ，
t2=nπ?

m

qB

=

πm

qB

?n，其中n=2、4、6、
當(dāng)n=2時(shí)  tmin=

2πm

qB

綜上，最短時(shí)間為tmin=

2πm

qB

答：（1）若P、Q間外加一與磁場(chǎng)方向垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)，能使速度為v₀射出的微粒沿PQ直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E=v₀B，方向豎直向下．
（2）撤去電場(chǎng)，為使微粒從P點(diǎn)射出后，途經(jīng)折線的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn)，初速度v應(yīng)滿足：v=

qBL

2 m?n

，（n=1、2、3、…）；
（3）求第（2）中微粒從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)所用時(shí)間的最小值為tmin=

2πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：考查受力平衡條件，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，理解在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間除與圓心角有關(guān)外，還與n取奇偶性有關(guān)．