Question

北京時(shí)間2010年 10月1日18時(shí)59分57秒，嫦娥二號(hào)衛(wèi)星成功發(fā)射并進(jìn)入地月軌道．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道Ⅲ繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)．求：
（1）飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率；
（2）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火后瞬間與點(diǎn)火前相比，速度是變大還是變��？
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）在月球表面，重力提供向心力，在任意軌道，萬(wàn)有引力提供向心力，聯(lián)立方程即可求解；
（2）根據(jù)G

Mm

R2

=m

v2

R

可知，當(dāng)R減小時(shí)，v也減��；
（3）飛船在近月軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行，重力提供向心力，根據(jù)向心力周期公式即可求解．

解答：解：（1）設(shè)月球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，則
在月球表面，重力提供向心力，則G

Mm

R2

=mg0
對(duì)飛船有：G

Mm

(4R)2

=m

v2

4R

解得：
v=

1

2

g0R

（2）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火后，軌道半徑減小，根據(jù)G

Mm

R2

=m

v2

R

可知，當(dāng)R減小時(shí)，v也減小．
（3）設(shè)飛船在近月軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T，則：
m(

2π

T

)2R=mg0
T=2π

R g0

答：（1）飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率為

1

2

g0R

；
（2）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火后瞬間與點(diǎn)火前相比，速度變��；
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為2π

R g0

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了萬(wàn)有引力公式及向心力基本公式的應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．