Question

1．某星球半徑為R=6×10⁶m，假設該星球表面上有一傾角為θ=30°的固定斜面，一質量為m=1kg的小物塊在力，作用下從靜止開始沿斜面向上運動，力F始終與斜面平行，如圖甲所示．已知小物塊和斜面間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，力F隨位移x變化的規(guī)律如圖乙所示（取沿斜面向上的方向為正向），如果小物塊運動12m時速度恰好為零，已知萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．試求：（計算結果保留一位有效數(shù)字）

（1）該星球表面上的重力加速度g的大��；
（2）該星球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）由圖可知，讀出力的大小的大�。�分前后兩段位移根據(jù)動能定理求出重力加速度；
（2）物體在星球上，重力等于萬有引力，列式求出該星球的質量，根據(jù)密度公式求解星球的平均密度．

解答 解：（1）令該星球表面的重力加速度為g，根據(jù)動能定理，小物塊在力F₁作用過程中有：
N=mgcosθ
f=μN$μmgcos30°=\frac{\sqrt{3}}{3}mg×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}mg$
小物塊在力F₂作用過程中有：
由題圖可知：F₁=15N，s₁=6m；F₂=3N，s₂=6m 

所以根據(jù)動能定理有：
W_F+W_f+W_G=△E_k
代入數(shù)據(jù)：
$15×6+（-3×6）+（-\frac{mg}{2}×12）+（-mg×12×\frac{1}{2}$）=0
解得：g=6m/s²
（2）在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的質量為：
$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
可得星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{3×6}{4×3.14×6.67×1{0}^{-11}×6×1{0}^{6}}kg/{m}^{3}$=4×10³kg/m³
答：（1）該星球表面上的重力加速度g的大小為6m/s²；
（2）該星球的平均密度為4×10³kg/m³．

點評 本題是動能定理的綜合運用，第（2）問掌握在星球表面重力與萬有引力相等，并掌握球的體積公式是解決問題的關鍵．