Question

3．如圖所示，平行斜導(dǎo)軌吻接平行水平導(dǎo)軌，光滑且電阻不計(jì)．水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過(guò)，B=2.0T，導(dǎo)軌間距L=0.5m．導(dǎo)體棒CD的質(zhì)量為0.1Kg，電阻為0.2Ω，靜放在水平導(dǎo)軌上．導(dǎo)體棒AB的質(zhì)量為0.2Kg，電阻為0.3Ω，從高為0.45m的斜導(dǎo)軌上由靜止滑下．求：
①AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀，加速度a₀₁及這時(shí)CD棒的加速度a₀₂．
②以后AB、CD的速度加速度分別如何變化．
③若AB不與CD相碰撞，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，則最后AB、CD作什么運(yùn)動(dòng)，速度分別多大．
④整個(gè)過(guò)程中，在AB、CD棒上發(fā)出的熱量各為多少？

Answer 1

分析 ①AB棒沿光滑導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，可求出AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀．進(jìn)入磁場(chǎng)后，AB棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培力，根據(jù)牛頓第二定律求出兩棒的加速度．
②、③分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況：AB棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向左的安培力作用而做減速運(yùn)動(dòng)，CD棒由于受到向右的安培力作用而向右做加速運(yùn)動(dòng)，隨著CD棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，感應(yīng)電流減小，兩棒所受的安培力減小，當(dāng)兩棒的速度相等時(shí)，回路中沒(méi)有感應(yīng)電流，兩棒不再受到安培力而均做勻速運(yùn)動(dòng)．對(duì)于兩棒組成的系統(tǒng)，合外力為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解最后兩棒運(yùn)動(dòng)的速度．
④根據(jù)能量守恒定律求解回路中產(chǎn)生的總熱量，由焦耳定律得到兩棒上發(fā)出的熱量．

解答 解：①AB棒在斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒得
 mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得，v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
設(shè)導(dǎo)體棒CD的質(zhì)量為m₂=0.1Kg，電阻為R₂=0.2Ω，導(dǎo)體棒AB的質(zhì)量為m₁=0.2Kg，電阻為R₁=0.3Ω．
進(jìn)入磁場(chǎng)后，AB棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv₀，感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
AB所受的安培力大小為 F=BIL，則有 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小為 a₀₁=$\frac{F}{{m}_{1}}$
聯(lián)立解得，a₀=30m/s²．方向向左．
CD棒的加速度大小為 a₀₂=$\frac{F}{{m}_{2}}$=60m/s²，方向向右．
②兩棒加速度都逐漸減小，最后加速度都為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
③AB棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，AB和CD組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有
  m₁v₀=（m₁+m₂）v
得v=2m/s，方向都是向右
④根據(jù)能量守恒定律得
 mgh=Q+$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
由焦耳定律得知AB棒上發(fā)出的熱量為  Q_AB=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q，CD棒上發(fā)出的熱量Q_CD=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q
聯(lián)立代入解得 Q_AB=0.18J，Q_CD=0.12J
答：
①AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀為3m/s．加速度a₀₁是30m/s²，方向向左．CD棒的加速度a₀₂為60m/s²，方向向右．
②兩棒加速度都逐漸減小，最后加速度都為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
③最后兩根都作勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小都是2m/s，方向都是向右．
④整個(gè)過(guò)程中，在AB、CD棒上發(fā)出的熱量各為0.18J和0.12J．

點(diǎn)評(píng) 本題雙桿在軌道上滑動(dòng)的類型，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒研究，類似于非彈性碰撞，用類比的方法容易理解．