Question

18．根據(jù)玻爾理論，電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運動，已知電子的電荷量為e，質量為m，電子在第1軌道運動的半徑為r₁，靜電力常量為k．
（1）電子繞氫原子核做圓周運動時，可等效為環(huán)形電流，試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期及形成的等效電流的大��；
（2）氫原子在不同的能量狀態(tài)，對應著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動，電子做圓周運動的軌道半徑滿足r_n=n²r₁，其中n為量子數(shù)，即軌道序號，r_n為電子處于第n軌道時的軌道半徑．電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n為電子動能與“電子-原子核”這個系統(tǒng)電勢能的總和．理論證明，系統(tǒng)的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以無窮遠為電勢能零點）．請根據(jù)以上條件完成下面的問題．
試證明電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n和電子在第1軌道運動時氫原子的能量E₁滿足關系式E_n=E₁/n²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖力提供向心力，結合圓周運動周期的公式，再由電流表達式，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結合動能與電勢能表達式，從而確定各軌道的能級，最后由能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）設電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期為T₁，形成的等效電流大小為I₁，
根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}$
有${T}_{1}=\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{r}_{1}^{3}}{k}}$               
又因為${I}_{1}=\frac{e}{{T}_{1}}$ 
有I₁=$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}^{3}}}$  
（2）①設電子在第1軌道上運動的速度大小為v₁，根據(jù)牛頓第二定律有
$k\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
電子在第1軌道運動的動能${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
電子在第1軌道運動時氫原子的能量 E₁=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}+\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量  E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$+$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$
又因為 r_n=n²r₁
則有 E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$=$\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$ 命題得證．
答：（1）電子繞氫原子核做圓周運動時，可等效為環(huán)形電流，試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期及形成的等效電流的大��；
（2）證明如上所述．

點評 考查庫侖定律，掌握牛頓第二定律的應用，注意原子核的電量與電子電量相等，同時各軌道的能量是解題的關鍵，還要掌握能量守恒定律的內容．