Question

2．2004年，我國正式開展月球探測工程，并命名為“嫦娥工程”．嫦娥工程分為“無人月球探測”、“載人登月”和“建立月球基地”三個階段，設想在月球表面上，宇航員登測出小物塊自由下落h高度所用的時間為t，當飛船在靠近月球表面繞月球做勻速圓周運動時，測得其周期為T，已知引力常量為G，根據上述各量，試求：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的質量M．

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動求月球表面的重力加速度；
（2）根據萬有引力提供圓周運動向心力由近月衛(wèi)星的周期與引力常量求月球的質量．

解答 解：（1）根據自由落體有：h=$\frac{1}{2}$g_月t²
得月球表面的重力加速度為：g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
（2）令月球半徑為R，則月球表面重力萬有引力相等，而近月飛行的衛(wèi)星由萬有引力提供向心力有：
mg_月=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球半徑為：
R=$\frac{{g}_{月}}{4{π}^{2}}$T²=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$
由根據重力與萬有引力相等有：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg_月
月球的質量為：
M=$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h}{G{t}^{2}}$•$\frac{{h}^{2}{T}^{4}}{4{π}^{4}{t}^{4}}$=$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的質量M為$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．本題重點是利用好月球表面的自由落體運動，這種以在星球表面自由落體、平拋物體、豎直上拋物體求解星球表面重力加速度的方式是比較常見的．