Question

水平固定的兩個(gè)足夠長(zhǎng)的平行光滑桿MN、PQ，兩者之間的間距為L(zhǎng)，兩光滑桿上分別穿有一個(gè)質(zhì)量分別為M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，兩小球之間用一根自然長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的輕質(zhì)橡皮繩相連接，開始時(shí)兩小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖1所示．現(xiàn)給小球A一沿桿向右的水平速度v₀=6m/s，以向右為速度正方向，以小球A獲得速度開始計(jì)時(shí)得到A球的v-t圖象如圖2所示．（以后的運(yùn)動(dòng)中橡皮繩的伸長(zhǎng)均不超過其彈性限度．）
（1）在圖2中畫出一個(gè)周期內(nèi)B球的v-t圖象（不需要推導(dǎo)過程）；
（2）若在A球的左側(cè)較遠(yuǎn)處還有另一質(zhì)量為M_C=0.1kg粘性小球C，當(dāng)它遇到小球A，即能與之結(jié)合在一起．某一時(shí)刻開始C球以4m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，在A的速度為向右大小為2m/s時(shí)，C遇到小球A，則此后橡皮繩的最大彈性勢(shì)能為多少？
（3）C球仍以4m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，試定量分析在C與A相遇的各種可能情況下橡皮繩的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）AB運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出B球的幾個(gè)速度值，描點(diǎn)連成光滑曲線即可；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出AC共同速度，再求出碰撞損失的機(jī)械能，當(dāng)三球速度相同時(shí)橡皮繩子彈性勢(shì)能最大，根據(jù)能量關(guān)系求出橡皮繩的最大彈性勢(shì)能；
（3）當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為4m/s與C球同向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最�。�為0），橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能，當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為2m/s與C球反向時(shí)（此時(shí)B的速度為，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最大，橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能，根據(jù)能量關(guān)系求解此最大彈性勢(shì)能，最后求出范圍．

解答：解：（1）AB運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
M_Av₀=M_Av_A+M_Bv_B
當(dāng)v_A=6m/s時(shí)v_B=0
當(dāng)v_A=2m/s時(shí)v_B=2m/s
當(dāng)v_A=-2m/s時(shí)v_B=4m/s
所以一個(gè)周期內(nèi)B球的v-t圖象如圖所示：
（2）AC碰撞，動(dòng)量守恒：M_Av_A+M_Cv_C=（M_A+M_C）v_AC
　　　　　　　　　解得：v_AC=3m/s　　　　　　　　　　　
碰撞損失的機(jī)械能為：△E_K=

1

2

M_Av_A²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

（M_A+M_C）v_AC²=0.1J
當(dāng)三球速度相同時(shí)橡皮繩子彈性勢(shì)能最大，M_Av₀+M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共
 解得：v_共=2.5m/s               
　所以　　E_Pmax=

1

2

M_Av₀²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

=（M_A+M_B+M_C）v_共²-△E_K
　解得：E_Pmax=1.25J　              
（3）①：當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為4m/s與C球同向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最�。�為0），橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能為E_Pmax1
　　　　　　E_Pmax1=

1

2

M_Av₀²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=1.35J
　�、冢寒�(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為2m/s與C球反向時(shí)（此時(shí)B的速度為，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最大，橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能為E_Pmax2，
M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v′_AC
　　　    解得v′_AC=1m/s
　E_Pmax2=

1

2

（M_A+M_C）v′_AC²+

1

2

M_Bv_B²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.45J
由上可得：橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能的可能值在0.45J-1.35J的范圍內(nèi)．
答：（1）如圖所示；（2）此后橡皮繩的最大彈性勢(shì)能為1.25J；（3）橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能的可能值在0.45J-1.35J的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，知道什么時(shí)候彈性勢(shì)能最大，過程較為復(fù)雜，難度較大，屬于難題．