Question

18．如圖所示，有一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形等高軌道，有兩個(gè)小球A，B質(zhì)量分別為m，3m，B球靜止在軌道上最低點(diǎn)，A球從軌道左邊某高處由靜止釋放，與B球在最低點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞，碰撞后A球被反向彈回，且A，B球能達(dá)到的最大高度均為$\frac{1}{4}$R，重力加速度為g，求．
①小球A開始釋放的位置離軌道最低點(diǎn)的高度
②第二次碰撞中A球的動(dòng)能變化．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求出碰撞后A與B的速度，然后由動(dòng)量守恒定律求出碰撞前A 的速度，最后又機(jī)械能守恒求出A的初始高度；
（2）由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒求出第二次碰撞后A與B的速度，即可求出A的動(dòng)能的變化．

解答 解：（1）碰撞后A上升的過程中機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg•\frac{1}{4}R$
所以碰撞后A與B的速度的大�。�${v}_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
設(shè)碰撞前A的速度是v₀，以碰撞前A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=-mv₁+3mv₁
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{0}=2{v}_{1}=2\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
碰撞前A下降的過程中機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgh$
得：h=R
（2）A與B滑上又返回的過程中機(jī)械能守恒，所以A與B返回后的速度的大小不變，由運(yùn)動(dòng)的對稱性可知，兩個(gè)小球同時(shí)返回，返回后仍然以A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：
mv₁-3mv₁=-mv₂+3mv₃
碰撞的過程中總動(dòng)能不變，則：$\frac{1}{2}（m+3m）{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}3m{v}_{4}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{3}=2\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，v₄=0
所以第二次碰撞中A球的動(dòng)能增大，增加量為：$△{E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=0.75mgR$
答：①小球A開始釋放的位置離軌道最低點(diǎn)的高度是R；
②第二次碰撞中A球的動(dòng)能增大0.75mgR．

點(diǎn)評 該題將動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律相結(jié)合，要注意題目中的碰撞是彈性碰撞，動(dòng)能的總量不變．