Question

（2011?浙江一模）如圖所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車(chē)的實(shí)物圖片，左圖所示是過(guò)山車(chē)的簡(jiǎn)化模型圖．在模型圖中水平傾角都為α=37°，斜軌道AB、CD、EF與豎直光滑圓形（圓�。┸壍缊A滑連接．B、C、D、E、F為對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)．其中兩個(gè)圓軌道半徑分別為R₁=6.0m和R₃=3.0m，中間圓弧軌道的半徑為R₂．且兩圓形軌道的最高點(diǎn)P、Q與A、D、E點(diǎn)平齊．現(xiàn)使小車(chē)（視作質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．已知斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=1/24，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5⁰=1/3．問(wèn)：
（1）若小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)P處，則其在A點(diǎn)的初速度v₀應(yīng)為多大？
（2）若在（1）問(wèn)情況下小車(chē)能安全到達(dá)E點(diǎn)，則能否安全通過(guò)第三個(gè)圓形軌道的Q點(diǎn)？
（3）若小車(chē)在A點(diǎn)的初速度為10

2

m/s，且R₂=10m則小車(chē)能否安全通過(guò)整段軌道？

Answer 1

分析：（1）小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)P處，知道在P點(diǎn)小車(chē)的重力提供向心力，可求出P點(diǎn)的速度．根據(jù)幾何關(guān)系求出AB的距離，然后對(duì)A到P運(yùn)用動(dòng)能定理求解．
（2）求出通過(guò)Q點(diǎn)的最小速度，然后對(duì)A到Q過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求出Q的速度，與Q點(diǎn)的最小速度進(jìn)行比較，即可判斷能否安全通過(guò)第三個(gè)圓形軌道的Q點(diǎn)．
（3）小車(chē)在A點(diǎn)的初速度為10

2

m/s，首先與第一問(wèn)中的初速度比較，看能否安全通過(guò)第一個(gè)圓軌道；求出G點(diǎn)的最大速度，因?yàn)樗俣冗^(guò)大，會(huì)脫離軌道，然后對(duì)A到G運(yùn)用動(dòng)能定理求出G點(diǎn)的速度，與G點(diǎn)的最大速度進(jìn)行比較，來(lái)判斷能否安全通過(guò)．

解答：解：（1）小車(chē)恰好過(guò)P點(diǎn)，故有             mg=m

vp2

R1

得 　　vp=

gR1

  　
   小車(chē)由A到P的過(guò)程，由動(dòng)能定理有
   -μmgcosα?SAB=

1

2

mvp2-

1

2

mv02　　 
由幾何關(guān)系可得
               SAB=

R1

tan α 2

       
由上面三個(gè)式子，并代入數(shù)據(jù)得
            　v0=6

2

m/s  　
（2）設(shè)小車(chē)能夠通過(guò)Q點(diǎn)，則A到Q由動(dòng)能定理得
-μmgcosα（2S_AB+S_EF）=

1

2

mvQ2-

1

2

mv02   
其中  SEF=

R3

tan α 2

代入數(shù)據(jù)可得
      vQ=

42

m/s  
而車(chē)恰好能過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，在Q點(diǎn)的速度為 vQ′=

gR3

=

30

m/s   
vQ=

42

m/s＞vQ′
故小車(chē)能安全通過(guò)第三圓軌道      
（3）小車(chē)以v=10

2

m/s的初速度從P點(diǎn)下滑時(shí)，因?yàn)橛?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">v=10

2

m/s＞v0=6

2

m/s
所以，小車(chē)可以通過(guò)第一圓形軌道       
設(shè)小車(chē)到中間圓弧最高點(diǎn)G的速度為v_G，則A到G由動(dòng)能定理得
-μmgcosα2S_AB-mgh=

1

2

mvG2-

1

2

mv2   
其中  h=R₂（1-cosα）
代入數(shù)據(jù)可得 vG=

136

m/s    
小車(chē)在最高點(diǎn)要不脫離軌道必須滿(mǎn)足vG′＜

gR2

=10m/s
所以小車(chē)在中間軌道上有脫離軌道的危險(xiǎn)．即小車(chē)不能安全通過(guò)整段軌道．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道在內(nèi)軌道的最高點(diǎn)有最小速度，在外軌道的最高點(diǎn)有最大速度，否則會(huì)脫離軌道．以及會(huì)適當(dāng)?shù)剡x擇研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．