Question

（2011?宜興市模擬）如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球．已知O點(diǎn)到斜面底邊的距離s_OC=L． 
（1）試證明小球只要能在光滑斜面上做完整的圓周運(yùn)動，則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B時細(xì)線上拉力之差為恒量．
（2）若小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動，小球運(yùn)動到A點(diǎn)或B點(diǎn)時細(xì)線斷裂，若兩種情況下小球滑落到斜面底邊時到C點(diǎn)的距離相等，則l和L應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）小球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，列出等式表示出小球在A、B兩點(diǎn)時的速度分別為v_A、v_B
的關(guān)系．在A、B兩點(diǎn)對小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解．
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動，則小球通過A點(diǎn)時細(xì)線的拉力為零．根據(jù)圓周運(yùn)動規(guī)律和牛頓第二定律求出A點(diǎn)速度．小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出等式求出B點(diǎn)速度．小球運(yùn)動到A點(diǎn)火B(yǎng)點(diǎn)時細(xì)線斷裂，小球在平行于底邊的方向上勻速運(yùn)動，在垂直于底邊的方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動規(guī)律求解．

解答：解：（1）設(shè)小球在A、B兩點(diǎn)時的速度分別為v_A、v_B
則由機(jī)械能守恒：

1

2

mvB2=

1

2

mvA2+mg?2lsinθ
在A點(diǎn)：TA+mgsinθ=m

vA2

l

在B點(diǎn)：TB-mgsinθ=m

vB2

l

則A、B兩點(diǎn)拉力之差T_B-T_A=6mgsinθ    此為一恒量
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動，則小球通過A點(diǎn)時細(xì)線的拉力為零．根據(jù)圓周運(yùn)動規(guī)律和牛頓第二定律有   mgsinθ=m

v 2 A

l

，
解得 vA=

glsinθ

．
小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

m

v

2 A

+mg?2lsinθ=

1

2

m

v

2 B

，
解得 vB=

5glsinθ

．                     
小球運(yùn)動到A點(diǎn)火B(yǎng)點(diǎn)時細(xì)線斷裂，小球在平行于底邊的方向上勻速運(yùn)動，在垂直于底邊的方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動（類平拋運(yùn)動）．
細(xì)線在A點(diǎn)斷裂：L+l=

1

2

a

t

2 A

，s_A=v_At_A，
細(xì)線在B點(diǎn)斷裂：L-l=

1

2

a

t

2 B

，s_B=v_Bt_B，
又 s_A=s_B，聯(lián)立解得 L=

3

2

l．            
答：（1）證明過程在上面．
（2）l和L應(yīng)滿足關(guān)系是L=

3

2

l．

點(diǎn)評：本題的綜合性較強(qiáng)，要了解物體做圓周運(yùn)動的特點(diǎn)，同時也用到了類平拋的知識和機(jī)械能守恒，是一個很好的綜合題目，很能考查學(xué)生的分析解題能力．