Question

8．如圖所示，在xOy平面的第一象限有一勻強電場，電場的方向平行于y軸向下，電場的大小為E（未知）．在x軸和第四象限的射線OC之間有一勻強磁場，磁感應強度的大小為B（未知），方向垂直于紙面向外．有一質(zhì)量為m，帶有電荷量+q的質(zhì)點以速率v₀由y軸上P點平行于x軸射入電場，質(zhì)點到達x軸上A點時速率為2v₀，速度方向與x軸的夾角為φ（未知），A點與原點O的距離為d，接著質(zhì)點進入磁場，并垂直于OC飛離磁場，不計重力影響，若OC與x軸的夾角也為φ，求
（1）φ=60°；
（2）勻強電場的場強大小E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（3）磁感應強度的大小B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)類平拋運動規(guī)律由速度的合成與分解求得夾角的大��；
（2）由平拋運動規(guī)律粒子在電場中的加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求得電場強度的大�。�
（3）作出粒子在磁場中的運動軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子在磁場中圓周運動的半徑根據(jù)洛倫茲力提供圓周運動向心力求得磁感應強度的大小．

解答 解：（1）質(zhì)點在電場中在電場力作用下做類平拋運動，質(zhì)點在P點的速率為v₀，方向平行于x軸射入電場，在A點時的速率為2v₀，則有：
$\frac{{v}_{P}}{{v}_{A}}=\frac{{v}_{0}}{2{v}_{0}}=cosφ$
所以可得φ=60°
（2）設(shè)從P點到A點類平拋運動的時間為t，
則有${v}_{A}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
可得質(zhì)點離開電場時${v}_{y}=\sqrt{3}{v}_{0}$
水平方向有：d=v₀t
可得粒子運動時間：t=$\fracueaaueg{{v}_{0}}$
豎直方向有：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t=\frac{\sqrt{3}}{2}d$
又在豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
聯(lián)立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（3）質(zhì)點在磁場中運動的軌跡如右圖所示

質(zhì)點運動軌跡為一圓弧，質(zhì)點飛離磁場時，速度垂直于OC，故圓弧的圓心在OC上，依題意，質(zhì)點軌跡與x軸的交點為A，過A點作與A點速度方向垂直的直線與OC交于O'，由幾何關(guān)系知，AO'垂直于OC，O'是圓弧的圓心，設(shè)圓弧的半徑為R則有：
R=dsinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
由洛倫茲力提供圓周運動向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$
故答案為：60°；$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

點評 本題為電荷在電場和磁場中運動的題目，在電場中的運動一般以平拋為主，而在圓周運動中主要考查勻速圓周運動，應注意找出圓心和半徑；同時要注意題目中哪些為已知量哪些為未知量．