Question

11．某科研小組設(shè)計了一個粒子探測裝置．如圖甲所示，一個截面半徑為R的圓筒（筒長大于2R）水平固定放置，筒內(nèi)分布著垂直于軸線的水平方向勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B．圖乙為圓筒的入射截面，圖丙為豎直方向過筒軸的切面．質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒內(nèi)．圓筒內(nèi)壁布滿探測器，可記錄粒子到達(dá)筒壁的位置．筒壁上的P點和Q點與入射面的距離分別為R和2R．（離子碰到探測器即被吸收，忽略離子間的相互作用）
（1）離子從O點垂直射入，偏轉(zhuǎn)后到達(dá)P點，求該入射離子的速度v₀；
（2）離子從OC線上垂直射入，求位于Q點處的探測器接收到的離子的入射速度范圍；
（3）若離子以第（2）問求得范圍內(nèi)的速度垂直入射，從入射截面的特定區(qū)域入射的離子偏轉(zhuǎn)后仍能到達(dá)距入射面為2R的筒壁位置，畫出此入射區(qū)域的形狀并求其面積．

Answer 1

分析 這是一道涉及立體幾何的帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動問題，難點在于第三問，從一個特定區(qū)域入射的離子仍能到達(dá)距入射面為2R的筒壁位置，這要從極端情況下做分析才能找到該區(qū)域的形狀．
（1）由于OD=DP，所以由洛侖茲力提供向心力就可以求得粒子入射的速度．
（2）因為入射的速度越大，半徑越大，則打在筒壁上的距離越遠(yuǎn)，所以打在Q點的粒子的入射速度最大，打在P點的粒子的入射速度最小，分別由洛侖茲力提供向心力即可求得最大和最小速度．
（3）從最大入射速度去考慮，當(dāng)離子以$\frac{5qBR}{2m}$的速度在偏離豎直線CO 入射時，入射點與正下方筒壁的距離仍然為R．由于對稱性，入射區(qū)域的面積是兩個弓形面積組成，由幾何關(guān)系就能求出該部分區(qū)域的面積．

解答 解：（1）離子運動的半徑為R，有：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：${v}_{0}=\frac{qBR}{m}$
（2）粒子以v₁ 從C 點入射時，剛能到達(dá)Q 點，則偏轉(zhuǎn)半徑為：R₁=2R
  $q{v}_{1}B=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
  ${v}_{1}=\frac{2qBR}{m}$
  粒子以v₂速度從O 點入射時，剛能到達(dá)Q，設(shè)半徑為R₂，根據(jù)題意得：
  $（{R}_{2}-R）^{2}+（2R）^{2}={{R}_{2}}^{2}$
  得：${R}_{2}=\frac{5R}{2}$  
   $q{v}_{2}B=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$  
  ${v}_{2}=\frac{5qBR}{2m}$
  速度范圍為：$\frac{2qBR}{m}≤v≤\frac{5qBR}{2m}$
（3）當(dāng)離子以$\frac{5qBR}{2m}$的速度在偏離豎直線CO 入射時，入射點與正下方筒壁的
  距離仍然為R．所以特定入射區(qū)域為圖中陰影部分
  由幾何關(guān)系得
  扇形面積：${S}_{1}=\frac{120}{360}×π{R}^{2}=\frac{π{R}^{2}}{3}$
  三角形面積：${S}_{2}=\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$
  陰影部分總面積：$S=2（{S}_{1}-{S}_{2}）=\frac{2π{R}^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{2}$
答：（1）離子從O點垂直射入，偏轉(zhuǎn)后到達(dá)P點，該入射離子的速度為$\frac{qB{v}_{0}}{m}$．
（2）離子從OC線上垂直射入，求位于Q點處的探測器接收到的離子的入射速度范圍是：$\frac{2qBR}{m}≤v≤\frac{5qBR}{2m}$．
（3）若離子以第（2）問求得范圍內(nèi)的速度垂直入射，從入射截面的特定區(qū)域入射的離子偏轉(zhuǎn)后仍能到達(dá)距入射面為2R的筒壁位置，畫出此入射區(qū)域的形狀如圖所示，其面積為$\frac{2π{R}^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{2}$．

點評 第三問是涉及立體幾何，又考察空間想象能力的題目，要從極端情況出發(fā)，當(dāng)粒子以最大速度入射時，入射點與正下方筒壁的距離仍然為R．由（1）問的結(jié)論對比進(jìn)行分析，才能知道入射面的形狀--兩個對稱的弓形組成，由幾何關(guān)系求出此區(qū)域的面積．