Question

8．如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點平滑連接．在過圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場．現(xiàn)有一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球在水平軌道上的A點由靜止釋放，小球運(yùn)動到C點離開半圓軌道后，經(jīng)界面MN上的P點進(jìn)入電場（P點恰好在A點的正上方，小球可視為質(zhì)點，小球運(yùn)動到C點之前所帶電荷量保持不變，經(jīng)過C點后所帶電荷量立即變?yōu)榱悖�．已知A、B兩點間的距離為2R，重力加速度為g．在上述運(yùn)動過程中，
求：（1）電場強(qiáng)度E的大小；
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動時的最大速率；（計算結(jié)果用根號表示）．

Answer 1

分析 （1）對從A到C過程根據(jù)動能定理列式；對平拋運(yùn)動過程根據(jù)分位移公式列式，最后聯(lián)立求解即可；
（2）對從A位置到圓弧過程根據(jù)動能定理列式，運(yùn)用解析法求解速度的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)小球過C點速度為v_c，小球從A到C過程，根據(jù)動能定理，有：
qE•3R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小球離開C點后做平拋運(yùn)動到P點：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
2R=v_Ct
解得：
E=$\frac{mg}{q}$
（2）小球運(yùn)動到圓周D點時速度最大，設(shè)為v，此時OD與豎直線OB夾角設(shè)為α，小球從A運(yùn)動到D過程，根據(jù)動能定理可知：
qE（2R+Rsinα）-mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
即：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR（sinα+cosα+1）$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)α=45°時動能最大，由此可得：
v=$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動時的最大速率為$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動情況，然后根據(jù)動能定理和平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式分析，不難．