Question

如圖所示，半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=37°，另一端點(diǎn)C為軌道的最低點(diǎn)．C點(diǎn)右側(cè)的水平路面上緊挨C點(diǎn)放置一木板，木板質(zhì)量M=l kg，上表面與C點(diǎn)等高．質(zhì)量m=l kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從空中A點(diǎn)以v₀=1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道．已知物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.2，木板與路面間的動(dòng)摩擦，因數(shù)μ₂=0.05．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．試求：
（1）物塊經(jīng)過(guò)軌道上的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）設(shè)木板受到的最大靜摩擦力跟滑動(dòng)摩擦力相等，則木板至少多長(zhǎng)才能使物塊不從木板上滑下？

Answer 1

分析：（1）物塊從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋規(guī)律可求得B點(diǎn)的速度；由機(jī)械能守恒可求得C點(diǎn)的速度；由向心力公式可求得物塊在C點(diǎn)受到的支持力，由牛頓第三定律可求得對(duì)軌道的壓力；
（2）由牛頓第二定律可求得物塊和木板的加速度，要使物塊不掉下去，兩物體最后應(yīng)達(dá)到相同速度并且剛好到達(dá)最右端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得木板的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）設(shè)物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度為v_B，則由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律可得：
v_Bsin37°=v₀
設(shè)物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為v_C，由機(jī)械能守恒得：

1

2

mv_B²+mg（R+Rsin37°）=

1

2

mv_C²
物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，設(shè)軌道對(duì)物塊的支持力為FC，根據(jù)牛頓第二定律得：
F_c-mg=m

v 2 c

R

聯(lián)立解得：F_c=46N；
由牛頓第三定律可知，物塊經(jīng)過(guò)圓軌道上的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為46N；
（2）物體在木板上滑動(dòng)時(shí)，設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為a₁、a₂，則：
μ₁mg=ma₁
μ₁mg-μ₂（M+m）g=ma₂
設(shè)物塊和木板經(jīng)過(guò)時(shí)間t達(dá)到共同速度v，其位移分別s₁、s₂，則：
對(duì)物塊有：v_C-at=v
v²-v_c²=-2a₁s₁
對(duì)木板有：a₂t=v
v²=2a₂s₂
設(shè)木板長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)，由題意得：L≥s₁-s₂
聯(lián)立解得：L≥6m
即木板長(zhǎng)度至少6m才能使物塊不從木板上滑下．
答：（1）物塊經(jīng)過(guò)軌道上的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為46N；（2）木板的長(zhǎng)度至少為6m，物塊才不會(huì)滑下．

點(diǎn)評(píng)：本題將平拋、圓周運(yùn)動(dòng)及直線運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起考查，注意分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并根據(jù)過(guò)程正確的選擇物理規(guī)律求解．