Question

2．一半徑為R的球形行星繞其自轉軸勻速轉動，若質量為m的物體在該星球兩極時的重力為G₀，在赤道上的重力為$\frac{{G}_{0}}{2}$，則（　�。�

• A． 該星球自轉的角速度大小為$\sqrt{\frac{{G}_{0}}{2mR}}$
• B． 環(huán)繞該星球表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的速率為$\sqrt{\frac{{G}_{0}R}{2m}}$
• C． 環(huán)繞該星球表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的速率為$\sqrt{\frac{{G}_{0}R}{m}}$
• D． 放置于此星球表面緯度為60°處的物體，向心加速度大小為$\frac{{G}_{0}}{4m}$

Answer 1

分析 在兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供向心力，結合牛頓第二定律求出星球自轉的角速度．根據萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力求出環(huán)繞星球表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星速率．根據幾何關系求出在星球表面緯度為60°處物體轉動的半徑，結合向心加速度公式求出向心加速度的大小．

解答 解：A、在兩極，萬有引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{0}$，在赤道，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=\frac{{G}_{0}}{2}+mR{ω}^{2}$，聯立兩式解得ω=$\sqrt{\frac{{G}_{0}}{2mR}}$，故A正確．
BC、根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又$G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{0}$，解得v=$\sqrt{\frac{{G}_{0}{R}^{\;}}{m}}$，故B錯誤，C正確．
D、處于星球表面緯度為60°處的物體，繞地軸轉動的半徑r=$Rcos60°=\frac{1}{2}R$，則向心加速度a=$r{ω}^{2}=\frac{1}{2}R•\frac{{G}_{0}}{2mR}=\frac{{G}_{0}}{4m}$，故D正確．
故選：ACD．

點評 解決本題的關鍵知道在兩極和赤道處萬有引力和重力的關系，掌握萬有引力定律的兩個重要理論，并能靈活運用，難度中等．