Question

20．帶有$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道、質(zhì)量為M的滑車靜止置于光滑水平面上，如圖所示，一質(zhì)量為m的小球以速度v₀水平?jīng)_上滑車，到達(dá)某一高度后，小球又返回車的左端．若M=2m，求：
（1）小球到達(dá)的最大高度為多少？
（2）小車獲得的最大速度為多少？

Answer 1

分析 （1）小球和小車組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，當(dāng)小球到達(dá)最大高度時，兩者速度相等，結(jié)合動量守恒和機(jī)械能守恒求出小球到達(dá)的最大高度．
（2）當(dāng)小球從圓弧軌道返回時，小車獲得的速度最大，根據(jù)動量守恒和機(jī)械能守恒求出小車獲得的最大速度．

解答 解：（1）當(dāng)小球到達(dá)最大高度時，m和M具有相同的速度，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得，
mv₀=（M+m）v，
解得v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
根據(jù)機(jī)械能守恒得，$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+mgh$，
解得h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3g}$．
（2）當(dāng)小球從圓弧軌道滑下時，小車的速度最大，根據(jù)動量守恒，則有：mv₀=mv₁+Mv₂，
根據(jù)機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
聯(lián)立解得${v}_{1}=-\frac{1}{3}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2}{3}{v}_{0}$，
答：（1）小球到達(dá)的最大高度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3g}$；
（2）小車獲得的最大速度為$\frac{2}{3}{v}_{0}$．

點評 本題考查了動量守恒和能量守恒的綜合運用，知道小球和小車組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，知道小球到達(dá)最高點時，小球與小車具有相同的速度．