Question

20．細(xì)繩的一端固定在天花板上，另一端懸掛質(zhì)量為m的小球，小球經(jīng)推動后緊貼在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動，如圖，已知繩長L，繩與豎直線的夾角為θ，試求：
（1）小球受到幾個力的作用？
（2）為使小球不離開桌面，小球的運動周期應(yīng)滿足什么條件？
（3）若小球不離開桌面時，每秒鐘完成n次圓周運動，此時繩對小球的拉力多大？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，小球受到重力，繩子的拉力以及桌面的支持力；
（2））當(dāng)水平面對小球無支持力時，對應(yīng)的周期最小，根據(jù)拉力和重力的合力提供向心力列式求解即可求解最小周期；
（3）若小球不離開桌面，根據(jù)繩子拉力的水平分量提供向心力列式求解即可．

解答 解：（1）對小球受力分析，小球受到重力，繩子的拉力，小球經(jīng)推動后緊貼在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動，所以小球還受到桌面的支持力，所以小球共受3個力作用；
（2）以小球為研究對象，小球受三個力的作用，重力mg、水平面支持力N、繩子拉力F．
在豎直方向合力為零，在水平方向所需向心力為m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，而R=Lsinθ，得：
Fcosθ+N=mg
Fsinθ=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
當(dāng)球即將離開水平面時，N=0，周期有最小值，解得：${T}_{min}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，
所以為使小球不離開桌面，小球的運動周期應(yīng)滿足大于等于$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，
（3）若小球不離開桌面，則有：
Tsinθ=mω²R=m4π²n²R=m4π²n²Lsinθ
解得：T=4π²n²mL
答：（1）小球受到三個力的作用；
（2）為使小球不離開桌面，小球的運動周期應(yīng)滿足大于等于$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$；
（3）若小球不離開桌面時，每秒鐘完成n次圓周運動，此時繩對小球的拉力為4π²n²mL．

點評 本題關(guān)鍵找出臨界狀態(tài)，然后根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解，知道當(dāng)水平面對小球無支持力時，對應(yīng)的周期最小，難度適中．