Question

12．如圖，一輕質彈簧一端固定、另一端與質量為M的小滑塊連接，開始時滑塊靜止在水平導軌的O點，彈簧處于原長狀態(tài)．導軌的OA段是粗糙的，其余部分都是光滑的．有一質量為m的子彈以大小為v的速度水平向右射入滑塊，并很快停留在滑塊中．之后，滑塊先向右滑行并越過A點，然后再向左滑行，最后恰好停在出發(fā)點O處．
（1）求滑塊滑行過程中彈簧彈性勢能的最大值．
（2）滑塊停在O點后，另一質量也為m的子彈以另一速度水平向右射入滑塊并很快停留在滑塊中，此后滑塊滑行過程先后有兩次經(jīng)過O點．求第二顆子彈入射前的速度u的大小在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）一顆子彈射入滑塊后，根據(jù)動量守恒定律求出速度．滑塊向右滑行至最右端時，彈簧彈性勢能達到最大，由能量守恒定律列出方程．滑塊由最右端向左滑行至O點，再由功能關系得到彈簧的彈性勢能與OA段的長度的關系式，聯(lián)立求出彈簧彈性勢能的最大值．
（2）由動量守恒定律求出第二顆子彈射入滑塊后滑塊的速度，若滑塊第一次返回O點時就停下，根據(jù)能量守恒定律求出速度u；若滑塊第一次返回O點后繼續(xù)向左滑行，再向右滑行，且重復第一次滑行過程，最后停在O點，由能量守恒定律求出速度u，聯(lián)立即可得到速度u的范圍．

解答 解：（1）設OA段的長度為l，與滑塊間的動摩擦因數(shù)為μ，設第一顆子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₁，
由動量守恒定律得   mv=（M+m）v₁                  ①
滑塊向右滑行至最右端時，彈簧彈性勢能達到最大，設為EP，由功能關系得
$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=μ（M+m）?gl+E_P         ②
滑塊由最右端向左滑行至O點，由功能關系得
E_P=μ（M+m）gl                        ③
解得：${E_P}=\frac{{{m^2}{v^2}}}{4（M+m）}$④
（2）設第二顆子彈射入滑塊后滑塊的速度為v₂，
由動量守恒定律得    mu=（M+2m）v₂         ⑤
若滑塊第一次返回O點時就停下，則滑塊的運動情況與前面的情況相同
$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?2l  ⑥
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}v$⑦
若滑塊第一次返回O點后繼續(xù)向左滑行，再向右滑行，且重復第一次滑行過程，最后停在O點，則$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²=μ（M+2m）g?4l     ⑧
解得$u=\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$⑨
第二顆子彈入射前的速度u 的大小在以下范圍內(nèi)$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$
答：（1）滑塊滑行過程中彈簧彈性勢能的最大值為$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{4（M+m）}$．
（2）第二顆子彈入射前的速度u的大小范圍為$\frac{M+2m}{M+m}v＜u＜\frac{M+2m}{M+m}\sqrt{2}v$．

點評 本題考查了動量守恒定律和能量守恒關系在子彈打木塊模型中的應用，注意研究對象的選取和能量守恒關系的應用，要挖掘隱含的臨界條件，確定速度u的速度范圍．