Question

10．如圖所示．一個半徑為R的$\frac{1}{4}$透明球體放置在水平面上，一束平行單色光沿水平方向垂直射向球體的AB面上，這些光線中有一部分不能從柱體的曲面AC上射出，已知該球體對平行單色光的折射率為$\sqrt{2}$，不考慮各個面上的反射，則：求：
①圓柱曲面上能射出光線的部分占AC表面的幾分之幾？
②經(jīng)曲面射出的光最后射到水平面上，求光束在直線BC上射不到的區(qū)域范圍．

Answer 1

分析 ①射到圓柱曲面AC上的光線，當入射角增大到等于臨界角時光線將發(fā)生全反射，不再有折射光射出．由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何知識求解．
②根據(jù)幾何關系求光束在直線BC上射不到的區(qū)域范圍．

解答 解：①設全反射臨界角為C，則sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
得 C=45°
當射到AC面上的光線入射角等于C時恰好發(fā)生全反射，將不能射出AC面．
在AD之間入射角大于臨界角，光線都發(fā)生全反射，所以圓柱曲面上能射出光線的部分為DC部分，由幾何知識知圓柱曲面上能射出光線的部分占AC表面的$\frac{1}{2}$．
②設光線射出AC面射BC線上離C點最近的點為E，如圖，光線DE折射角為90°，E點右側(cè)無光線射到．
由幾何知識可得 CE=BE-BC=$\sqrt{2}$R-R=（$\sqrt{2}$-1）R
所以光束在直線BO上射不到的區(qū)域范圍為離C點距離為（$\sqrt{2}$-1）R的E點右側(cè)．
答：
①圓柱曲面上能射出光線的部分占AC表面的$\frac{1}{2}$．
②光束在直線BO上射不到的區(qū)域范圍為離C點距離為（$\sqrt{2}$-1）R的E點右側(cè)．

點評 本題的關鍵要理解并掌握全反射條件和臨界角公式，結(jié)合幾何知識，即可研究這類問題．