Question

10．如圖所示，在勻強磁場區(qū)域內與B垂直的平面中有兩根足夠長的固定金屬平行導軌，在它們上面橫放兩根平行導體棒構成矩形回路．長度為L，質量為m，電阻為R，回路部分導軌電阻可忽略，棒與導軌無摩擦，不計重力和電磁輻射，且開始時圖中左側導體棒靜止，右側導體棒具有向右的初速v₀，試求兩棒之間距離增長量x的上限．

Answer 1

分析 對于兩棒組成的系統(tǒng)，合外力為零，遵守動量守恒，由動量守恒定律可求得兩棒最終勻速運動的速度．再對左側棒，運用牛頓第二定律和積分法求解x增長量的最大值．

解答 解：最終兩棒以相同的速度勻速運動，此時兩棒之間距離增長量x達到最大值，設兩棒共同速度為v．
取向右為正方向，根據系統(tǒng)的動量守恒得
  mv₀=2mv，得 v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
對于左側棒，根據牛頓第二定律得：
  BIL=ma=m$\frac{△v}{△t}$
又 I=$\frac{BL△{v}_{差}}{2R}$，式中△v_差是兩棒速度之差
聯(lián)立并變形得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△{v}_{差}△t}{2R}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△{v}_{差}△t}{2R}$=∑m△v
其中△v_差△t=△x
則得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2R}$$\sum_{\;}^{\;}$△x=∑m△v=m$\frac{{v}_{0}}{2}$
所以兩棒之間距離增長量x的上限為 $\sum_{\;}^{\;}$△x=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：兩棒之間距離增長量x的上限為$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵要運用積分法求兩棒之間距離增長量x的上限，要知道其切入點是牛頓第二定律和加速度的定義式．