Question

科學(xué)家認(rèn)為火星是太陽系內(nèi)除地球以外最可能存在生命的星球．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的0.1倍，火星的半徑是地球半徑的0.5倍．假設(shè)火星是個(gè)均勻的球體，且不考慮火星表面大氣阻力的影響，請推導(dǎo)并利用以上字母表達(dá)：
（1）火星表面的重力加速度g₀；
（2）火星探測器能夠環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度v_M；
（3）火星探測器能夠圍繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期T₀．

Answer 1

分析：（1）星球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R2

，得g=

GM

R2

，在火星和地球都有這個(gè)關(guān)系，把火星與地球的質(zhì)量之比，半徑之比代入計(jì)算可得火星表面的重力加速度．
（2）在貼近火星表面環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，是最大的速度，即第一宇宙速度．
根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

R火2

=m

vM2

R火

，得vM=

GM火 R火

，又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g0=

GM火

R火2

，所以vM=

g0R火

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得最大速度v_M．
（3）在貼近火星表面環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，速度最大，周期最小，根據(jù)周期與線速度的關(guān)系T0=

2πR火

vM

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）星球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R2

，得g=

GM

R2

在火星和地球都有這個(gè)關(guān)系，所以

g0

g

=

M火

M地

?(

R地

R火

)2=0.1×4=0.4
即g₀=0.4g
（2）在貼近火星表面環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，是最大的速度，即第一宇宙速度．
根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

R火2

=m

vM2

R火

，得vM=

GM火 R火

又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g0=

GM火

R火2

，
所以vM=

g0R火

=

0.4g×0.5R

=

1

5

5gR

（3）在貼近火星表面環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，速度最大，周期最小，
所以根據(jù)周期與線速度的關(guān)系有
T0=

2πR火

vM

=

2π×0.5R

1 5 5gR

=

π

g

5gR

答：（1）火星表面的重力加速度g₀為0.4g．
（2）火星探測器能夠環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度v_M為

1

5

5gR

．
（3）火星探測器能夠圍繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期T₀為

π

g

5gR

．

點(diǎn)評：本題要知道星球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R2

這個(gè)關(guān)系，同時(shí)要知道在貼近火星表面環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，是最大的速度，即第一宇宙速度．