Question

11．如圖所示，單擺擺長L=1.0m，C點(diǎn)在懸點(diǎn)O的正下方，D點(diǎn)與C點(diǎn)相距為x=0.6m，C、D之間是光滑絕緣水平面，當(dāng)擺球A（不帶電）運(yùn)動(dòng)至左側(cè)最大位移處時(shí)，帶電小球B從D點(diǎn)由靜止釋放，小球B的電荷量q=+2.0×10^-2C．A、B的質(zhì)量均為m=200g．當(dāng)小球B運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，A、B小球恰在C點(diǎn)迎面相碰．（A、B小球均看成質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，計(jì)算時(shí)取g=10m/s²，π²=10）．求
（1）碰前A球做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T
（2）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E滿足的條件
（3）若小球A帶電q_A=+2.0×10^-3C，勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E=10³N/C，要使小球A繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球A在最低點(diǎn)C的速度v至少多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單擺的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$求簡諧運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）小球B由D→C的過程，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma和位移公式$x=\frac{1}{2}a{t^2}$．A、B小球恰在C點(diǎn)迎面相碰滿足 $（n+\frac{3}{4}）T=t$…由此求E．
（3）小球的等效重力$F=\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（qE）}^2}}=2\sqrt{2}N$，與水平方向夾角θ=45°．繞O點(diǎn)恰做完整圓周運(yùn)動(dòng)，在Q點(diǎn)滿足 $F=m\frac{v_Q^2}{L}$．由C→Q由動(dòng)能定理列式，可求出v的最小值．

解答 解：（1）由單擺周期公式得 $T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}=2×\sqrt{\frac{1×10}{10}}s=2s$
（2）小球B由D→C的過程，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
  qE=ma，$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
A、B小球恰在C點(diǎn)迎面相碰滿足 $（n+\frac{3}{4}）T=t$
聯(lián)立得 $E=\frac{48}{{{{（4n+3）}^2}}}N/C$（ 其中n=0，1，2…）    
（3）等效重力 $F=\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（qE）}^2}}=2\sqrt{2}N$
與水平方向夾角 θ=45°
繞O點(diǎn)恰做完整圓周運(yùn)動(dòng)，在Q點(diǎn)滿足  $F=m\frac{v_Q^2}{L}$
由C→Q由動(dòng)能定理  $-mgL（1+sinθ）-qELcosθ=\frac{1}{2}mv_Q^2-\frac{1}{2}mv_C^2$
得在C點(diǎn)的最小速度  ${v_C}=\sqrt{20+30\sqrt{2}}m/s$
答：
（1）碰前A球做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T是2s．
（2）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E滿足的條件是 $E=\frac{48}{{{{（4n+3）}^2}}}N/C$（ 其中n=0，1，2…）．
（3）在C點(diǎn)的最小速度是$\sqrt{20+30\sqrt{2}}$m/s．

點(diǎn)評 本題可采用類比的方法理解和解答，第3小題運(yùn)用等效法研究，可與豎直平面的單擺類比．關(guān)鍵要把握等效最高點(diǎn)的臨界條件：繩子拉力為零，由重力和電場力的合力提供向心力．