Question

18．我國在2013年12月份發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥3號”，設(shè)“嫦娥3號”衛(wèi)星環(huán)繞月球做圓周運動，并在此圓軌道上繞行n圈，飛行時間為t．已知月球半徑為R．月球表面的重力加速度為g．求：
（1）月球的質(zhì)量．
（2）衛(wèi)星在上述圓軌道上運行時離月球表面高度h．（用t、n、R、g表示）

Answer 1

分析 （1）結(jié)合月球的半徑和月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力得出月球的質(zhì)量．
（2）通過萬有引力提供向心力，結(jié)合周期和月球的質(zhì)量求出軌道半徑，從而得出衛(wèi)星離月球表面的高度h．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
可知：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）衛(wèi)星的周期為：T=$\frac{t}{n}$
根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
聯(lián)立解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）衛(wèi)星在上述圓軌道上運行時離月球表面高度h為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．