Question

如圖1所示，一端封閉的兩條平行光滑長導軌相距L，距左端L處的右側(cè)一段被彎成半徑為

L

2

的四分之一圓弧，圓弧導軌的左、右兩段處于高度相差

L

2

的水平面上．以弧形導軌的末端點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標軸．圓弧導軌所在區(qū)域無磁場；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B（t），如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應(yīng)強度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B（x），如圖3所示；磁場B（t）和B（x）的方向均豎直向上．在圓弧導軌最上端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B（t）開始變化，金屬棒與導軌始終接觸良好，經(jīng)過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導軌底端．已知金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開右段磁場B（x）區(qū)域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導體棒的電荷量q；
b．通過計算，確定金屬棒在全部運動過程中感應(yīng)電流最大時的位置．

Answer 1

分析：（1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應(yīng)強度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應(yīng)定律得知，回路中磁通量的變化率相同，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動勢．
（2）根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結(jié)合求解金屬棒在弧形軌道上滑行過程中產(chǎn)生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求出金屬棒在水平軌道上滑行的過程中產(chǎn)生的焦耳熱，即可得到總熱量．
（3）在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，在很短的時間△t內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和感應(yīng)電流的表達式，求出感應(yīng)電荷量q．再進行討論．

解答：解：（1）由圖2可知，

△B

△t

=

B0

t0

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=L2

B0

t0

①
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，產(chǎn)生的焦耳熱Q1=

U2

R

t=

L4 B 2 0

Rt0

金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)機械能守恒定律mg

L

2

=

1

2

m

v

2 0

②
金屬棒在水平軌道上滑行的過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂，
根據(jù)能量守恒定律Q2=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=mg

L

2

-

1

2

mv2
所以，金屬棒在全部運動過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q=Q1+Q2=

L4 B 2 0

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2
（3）a．根據(jù)圖3，x=x₁（x₁＜x₀）處磁場的磁感應(yīng)強度B1=

B0(x0-x1)

x0

．
設(shè)金屬棒在水平軌道上滑行時間為△t．由于磁場B（x）沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律△t時間內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢

.

E

=

△Φ

△t

=

Lx1 B0+B1 2

△t

=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0△t

所以，通過金屬棒電荷量q=

.

I

△t=

. E

R

△t=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

b．金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)①式，I1=

E

R

=

L2B0

Rt0

金屬棒在水平軌道上滑行過程中，由于滑行速度和磁場的磁感應(yīng)強度都在減小，所以，此過程中，金屬棒剛進入磁場時，感應(yīng)電流最大．
根據(jù)②式，剛進入水平軌道時，金屬棒的速度v0=

gL

所以，水平軌道上滑行過程中的最大電流I2=

E′

R

=

B0L gL

R

若金屬棒自由下落高度

L

2

，經(jīng)歷時間t=

L g

，顯然t₀＞t
所以，I1=

L2B0

Rt0

＜

L2B0

Rt

=

L2B0

R L g

=I2
綜上所述，金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．
答：
（1）金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E是L2

B0

t0

；
（2）金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q為

L4 B 2 0

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2；
（3）a．金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導體棒的電荷量q為

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

；
b．金屬棒在全部運動過程中金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．

點評：本題中（1）（2）問，磁通量均勻變化，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動勢是關(guān)鍵．對于感應(yīng)電荷量，要能熟練地應(yīng)用法拉第定律和歐姆定律進行推導．