Question

2．為了研究過(guò)山車的原理，物理小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°的傾斜軌道AB，通過(guò)水平軌道BC進(jìn)入豎直圓軌道l，接著進(jìn)入為水平軌道DE和豎直圓軌道2．其中AB與BC軌道以微小圓弧相連，已知豎直軌道1的半徑R=0.8m豎直圓軌道2的半徑r=0.4m，水平軌道DE長(zhǎng)為4m．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小物塊（可看作質(zhì)點(diǎn)）靜止從A點(diǎn)沿傾斜軌道滑下．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.80）求：
（1）假設(shè)整個(gè)軌道都是光滑的，要使小物塊通過(guò)兩個(gè)圓軌道滑出，求斜面AB長(zhǎng)L至少為多少？
（2）假設(shè)只有水平軌道DE是不光滑的，小物塊經(jīng)斜面下滑后恰能通過(guò)豎直圓軌道1，而后經(jīng)水平軌道DE進(jìn)入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，小物塊整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程不脫離軌道．求小物塊最終可能停在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）要使小物塊通過(guò)兩個(gè)圓軌道滑出，則要求物塊能夠通過(guò)豎直圓軌道1的最高點(diǎn)，根據(jù)向心力公式求出到達(dá)最高點(diǎn)的最小值，再根據(jù)動(dòng)能定理求解斜面AB長(zhǎng)；
（2）小物塊經(jīng)斜面下滑后恰能通過(guò)豎直圓軌道1，則在最高點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$，要使小球經(jīng)水平軌道DE進(jìn)入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，則小球最多上升到與豎直圓軌道2圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）若物塊能夠通過(guò)豎直圓軌道1的最高點(diǎn)，則小物塊就能通過(guò)兩個(gè)圓軌道滑出，在豎直圓軌道1的最高點(diǎn)，當(dāng)重力提供向心力時(shí)，速度最小，根據(jù)向心力公式得：mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=2\sqrt{2}m/s$．
從A點(diǎn)到豎直圓軌道1的最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mg（Lsin37°-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：L=3.33m
所以斜面AB長(zhǎng)L至少為3.33m
（2）要使小球經(jīng)水平軌道DE進(jìn)入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，則小球最多上升到與豎直圓軌道2圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$═mg（2R-r）-μmgx_DE…①
設(shè)最終停在與E點(diǎn)的距離為x處，則有：
mgr=μmgx…②
由①②解得：x=1m
所以小物塊最終可停在距離E點(diǎn)1m的范圍內(nèi)．
答：（1）斜面AB長(zhǎng)L至少為3.33m；
（2）小物塊最終可能在距離E點(diǎn)1m的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，涉及直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．