Question

1．如圖所示，在距一質量為m₀、半徑為R、密度均勻的大球體R處有一質量為m的質點，此時大球體對質點的萬有引力為F₁，當從大球體中挖去一半徑為$\frac{R}{2}$的小球體后（空腔的表面與大球體表面相切），剩下部分對質點的萬有引力為F₂，求F₁：F₂．

Answer 1

分析 根據萬有引力定律求出M對m的萬有引力，當從M中挖去一半徑為r=$\frac{1}{2}$R的球體時，剩下部分對m的萬有引力等于原來的萬有引力減去被挖去的球體對m的萬有引力．

解答 解：質點與大球球心相距2R，其萬有引力為F₁，則有：F₁=$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
大球質量為：M=ρ×$\frac{4}{3}$πR ³，
挖去的小球質量為：M′=ρ×$\frac{4}{3}$π（$\frac{R}{2}$）³，
即M′=$\frac{1}{8}$ρ×$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{M}{8}$
小球球心與質點間相距$\frac{3}{2}R$，小球與質點間的萬有引力為：
F₁′=$G\frac{M′m}{（\frac{3}{2}R）^{2}}=\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
則剩余部分對質點m的萬有引力為：
F₂=F₁-F₁′=$\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$\frac{7}{36}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
故有：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$．
答：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$．

點評 本題主要考查了萬有引力定律得直接應用，注意球體對質點的距離為球心到質點的距離．