Question

水平固定的兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑桿MN、PQ，兩者之間的間距為L(zhǎng)，兩光滑桿上分別穿有一個(gè)質(zhì)量分別為M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，兩小球之間用一根自然長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的輕質(zhì)橡皮繩相連接，開始時(shí)兩小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕質(zhì)橡皮繩處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，如圖（a）所示．現(xiàn)給小球A一沿桿向右的水平瞬時(shí)沖量I，以向右為速度正方向，得到A球的速度-時(shí)間圖象如圖（b）所示．（以小球A獲得瞬時(shí)沖量開始計(jì)時(shí)，以后的運(yùn)動(dòng)中橡皮繩的伸長(zhǎng)均不超過其彈性限度．）
（1）求瞬時(shí)沖量I的大小；
（2）在圖（b）中大致畫出B球的速度-時(shí)間圖象；
（3）若在A球的左側(cè)較遠(yuǎn)處還有另一質(zhì)量為M_C=0.1kg小球C，某一時(shí)刻給C球4m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，它將遇到小球A，并與之結(jié)合在一起運(yùn)動(dòng)，試定量分析在各種可能的情況下橡皮繩的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）由圖象得出A的初速度，根據(jù)動(dòng)量定理求出瞬時(shí)沖量的大小．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出AB速度相同時(shí)的速度，以及A的速度為-2m/s時(shí)，B的速度．從而大致畫出B球的速度時(shí)間圖象．
（3）不論A、C兩球何時(shí)何處相互作用，三球相互作用的過程中三球具有的共同速度是一個(gè)定值，即三球速度相同時(shí)的總動(dòng)能是一定值．根據(jù)動(dòng)量守恒求出三球的共同速度，此時(shí)橡皮繩的彈性勢(shì)能最大．抓住當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度減為4m/s與C球同向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最小，A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為2m/s與C球反向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最大，根據(jù)損失的能量轉(zhuǎn)換為彈性勢(shì)能，得出彈性勢(shì)能最大值的范圍．

解答：解：（1）由圖象得V_A=6m/s，
又I=M_AV_A-0=0.6N．m
（2）B的速度-時(shí)間圖象如圖
M_AV_A=（M_A+M_B）V₁
 V₁=2m/s
M_AV_A=M_AV_A′+M_BV₂ 
 解得V₂=4m/s
（3）因A、B、C三小球水平方向系統(tǒng)不受外力，故動(dòng)量守恒．
由此可得：不論A、C兩球何時(shí)何處相互作用，三球相互作用的過程中三球具有的共同速度是一個(gè)定值，即三球速度相同時(shí)的總動(dòng)能是一定值．
M_AV_A+M_CV_C=（M_A+M_B+M_C）V_共  
解得V_共=2.5m/s
當(dāng)三球速度相同時(shí)橡皮繩子彈性勢(shì)能最大，所以當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度減為4m/s與C球同向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最小（為0），此情況下三球在運(yùn)動(dòng)過程中橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能為E_PM1
E_PM1=

1

2

M_AV_A²+

1

2

M_CV_C²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=1.35J
當(dāng)A球在運(yùn)動(dòng)過程中速度為2m/s與C球反向時(shí)，C球與之相碰時(shí)系統(tǒng)損失能量最大，此情況下三球運(yùn)動(dòng)的過程中橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能為E_PM2
M_CV_C-M_AV_A=（M_A+M_C）V₃
解得V₃=1m/s
E_PM2=

1

2

（M_A+M_C）V₃²+

1

2

M_BV₂²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=0.45J
由上可得：橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范圍內(nèi)．
答：（1）瞬時(shí)沖量I的大小為0.6N．m．
（2）如圖所示．
（3）橡皮繩具有的最大彈性勢(shì)能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理以及能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，尤其第（3）問，知道最終系統(tǒng)動(dòng)能為定值，結(jié)合能量守恒定律求出彈性勢(shì)能的最大值．