Question

4．我國(guó)于2008年9月25日成功發(fā)射了圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的“神州7號(hào)”載人飛船，宇航員翟志剛順利進(jìn)行了太空出艙活動(dòng)．
（1）已知飛船質(zhì)量為m，點(diǎn)火后，火箭豎直勻加速升空，T秒末，火箭上升的高度為H處，求火箭勻加速升空的過(guò)程中，座椅對(duì)宇航員的支持力約為其重力的多少倍？
（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．假設(shè)“神州7號(hào)”載人飛船上的宇航員離開(kāi)飛船后身上的速度計(jì)顯示其對(duì)地心的速度為v，宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，求該宇航員距離地球表面的高度．
（3）已知宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，宇航員通過(guò)向后噴出氧氣而獲得反沖力，每秒鐘噴出的氧氣質(zhì)量為m．為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，設(shè)噴射時(shí)對(duì)氣體做功的功率恒為P且噴出氣體的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于飛船的速度，在不長(zhǎng)的時(shí)間t內(nèi)宇航員及其設(shè)備的質(zhì)量變化很小，可以忽略不計(jì)．求噴氣t秒后宇航員獲得的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和重力等于萬(wàn)有引力聯(lián)立求解
（3）根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒定律聯(lián)立求解

解答 解：（1）點(diǎn)火后火箭豎直勻加速升空，由$H=\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$得加速度$a=\frac{2H}{{T}_{\;}^{2}}$．設(shè)座椅對(duì)宇航員的支持力約為其重力的n倍，
對(duì)宇航員由牛頓第二定律得nmg-mg=ma
解得：$n=\frac{a}{g}+1=\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為${M}_{0}^{\;}$，在地球表面，對(duì)于質(zhì)量為m的物體有，$mg=G\frac{{M}_{0}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
離開(kāi)飛船后的宇航員繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有$G\frac{{M}_{0}^{\;}M}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：$r=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}$
該宇航員距離地球表面的高度$h=r-R=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$
（3）因?yàn)閲娚鋾r(shí)對(duì)氣體做功的功率恒為P，而單位時(shí)間內(nèi)噴氣質(zhì)量為m，故在t時(shí)間內(nèi)，據(jù)動(dòng)能定理
$P×t=\frac{1}{2}mt•{v}_{\;}^{2}$
可求得噴出氣體的速度為：$v=\sqrt{\frac{2P}{m}}$，
另一方面探測(cè)器噴氣過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則：0=mt•v-Mu
又宇航員獲得的動(dòng)能，${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M{u}_{\;}^{2}$
聯(lián)立解得：${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M（\frac{mt}{M}•\sqrt{\frac{2P}{m}}）_{\;}^{2}=\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$
答：（1）座椅對(duì)宇航員的支持力約為其重力的$\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$倍
（2）該宇航員距離地球表面的高度$\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$．
（3）噴氣t秒后宇航員獲得的動(dòng)能$\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了天體運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的知識(shí)，處理這類(lèi)題目的主題思路是萬(wàn)有引力提供天體圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)需要選擇合適的向心力公式．