Question

（2011?徐州一模）如圖甲所示，M和N是相互平行的金屬板，OO₁O₂為中線，O₁為板間區(qū)域的中點(diǎn)，P是足夠大的熒光屏帶電粒子連續(xù)地從O點(diǎn)沿OO₁方向射入兩板間．帶電粒子的重力不計(jì)．
（1）若只在兩板間加恒定電壓U，M和N相距為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)（不考慮電場(chǎng)邊緣效應(yīng)）．若入射粒子是不同速率、電量為e、質(zhì)量為m的電子，試求能打在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的電子的動(dòng)能．
（2）若兩板間沒(méi)有電場(chǎng)，而只存在一個(gè)以O(shè)₁點(diǎn)為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T，兩板間距d=

3

cm，板長(zhǎng)L=l.0cm，帶電粒子質(zhì)量m=2.0×10^-25kg，電量q=8.0×10^-18C，入射速度v=

3

×10⁵m/s．若能在熒光屏上觀察到亮點(diǎn)，試求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r，并確定磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R應(yīng)滿足的條件．（不計(jì)粒子的重力）
（3）若只在兩板間加如圖乙所示的交變電壓u，M和N相距為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)（不考慮電場(chǎng)邊緣效應(yīng)）．入射粒子是電量為e、質(zhì)量為m的電子．某電子在t0=

L

4v0

時(shí)刻以速度v₀射入電場(chǎng)，要使該電子能通過(guò)平行金屬板，試確定U₀應(yīng)滿足的條件．

U₀≤

8md2v02

eL2

．

Answer 1

分析：（1）打在熒光屏上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離等于

d

2

．粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求粒子的初速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解動(dòng)能．
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑．由幾何關(guān)系求出磁場(chǎng)區(qū)域最大的半徑．
（3）由圖讀出交變電壓的周期為T(mén)=

2L

3v0

，則t₀=

3

8

T，電子分別在

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T時(shí)間內(nèi)沿垂直于初速度方向運(yùn)動(dòng)的位移依次為y₁、y₂、y₃、y₄，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，要使該電子能通過(guò)平行金屬板，則應(yīng)滿足條件y₁+y₂+y₃+y₄≤

d

2

，即可求出U₀應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）電子在兩極板間的加速度為：a=

eU

md

通過(guò)金屬板的時(shí)間為：t=

L

v

對(duì)打在熒光屏上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子，有：

1

2

d=

1

2

at²             
有動(dòng)能定理得：E_k=

1

2

eU+

1

2

mv²                           
聯(lián)立解得：E_k=

eU(d2+L2)

2d2

（2）由牛頓第二定律可知，qvB=

mv2

r

代入數(shù)據(jù)解得：r=5

3

×10^-3m=8.7×10^-3m                   
如圖所示，設(shè)恰好在熒光屏P上觀察到亮點(diǎn)時(shí)，粒子偏轉(zhuǎn)角為2θ，磁場(chǎng)區(qū)域的最大半徑為R₀，由幾何關(guān)系可知
tan2θ=

d/2

L/2

，tanθ=

R0

r

代入數(shù)據(jù)解得：R₀=5×10^-3m                                
則R應(yīng)滿足的條件：R≤5×10^-3m                   
（3）交變電壓的周期 T=

2L

3v0

，則t₀=

3

8

T
電子通過(guò)金屬板的時(shí)間：t′=

L

v0

=

3

2

T  
電子在兩極板間的加速度：a′=

eU0

md

設(shè)電子分別在

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T時(shí)間內(nèi)沿垂直于初速度方向運(yùn)動(dòng)的位移依次為y₁、y₂、y₃、y₄，則有
y₁=y₃=-a′（

1

2

T-t₀）²         
y₂=a′（

3

8

T）²            
 y₄=

1

2

a′（

1

4

T）²      
要使電子能通過(guò)平行金屬板，應(yīng)滿足條件：y₁+y₂+y₃+y₄≤

d

2

聯(lián)立解得：U₀≤

8md2v02

eL2

答：（1）打在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的電子的動(dòng)能是

eU(d2+L2)

2d2

．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R應(yīng)滿足的條件是5×10^-3m．
（3）U₀應(yīng)滿足的條件是 U₀≤

8md2v02

eL2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是臨界問(wèn)題，采用極限法和幾何知識(shí)確定出臨界條件是本題的解題關(guān)鍵，考查解決綜合題的能力．