Question

20．如圖所示，紙面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xOy，光屏MN垂直于y軸，在第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第二象限內(nèi)有沿x軸正方向，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第三象限內(nèi)有與x軸正方向成45°角斜向下、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子（不計(jì)重力），從P（-2x₀，-x₀）點(diǎn)沿垂直于電場(chǎng)方向以速度v₀射出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向射入磁場(chǎng)．
（1）求粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v；
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（3）如果粒子垂直打在光屏MN上，求粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在屏上的過(guò)程中的軌跡長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）由帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可解得電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）由帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可明確粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由幾何關(guān)系可明確軌跡長(zhǎng)度．

解答 解：（1）粒子從從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，則粒子帶正電，由帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知：
v=$\sqrt{2}$v₀；
（2）如圖，設(shè)電場(chǎng)方向移動(dòng)的距離為y，垂直電場(chǎng)方向的位移為x，
已知tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
根據(jù)位移偏向角的正切是速度偏向角正切的一半，故有
tanβ=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$．
又知y²+x²=x₀²+（2x₀）²，
則y=x₀，
由幾何關(guān)系可知，粒子在電場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)位移為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，
則有qEy=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解答E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q{x}_{0}}$；
（3）帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向射入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，若光屏足夠遠(yuǎn)，則粒子從y軸垂直進(jìn)入第三象限，再返回第一象限，此過(guò)程有n個(gè)（n=0，1，2，3…），最后粒子經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$周期后打在光屏上，如圖所示是n=1的運(yùn)動(dòng)軌跡；
由qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，T=$\frac{2πR}{v}$可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$；
則粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在屏上在磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=$\frac{1}{2}$nT+$\frac{1}{4}$T，
粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在屏上在磁場(chǎng)的軌跡長(zhǎng)度為s_磁=vt=（$\frac{1}{2}$nT+$\frac{1}{4}$T）v=（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$，（n，0，1，2，3…），
由v²-v₀²=2as，s_電=2ns可得，
粒子在第二象限的電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為s_電=2n$\frac{{v}^{2}}{2a}$=2n$\frac{{v}^{2}}{2\frac{qE}{m}}$=4nx₀，
聯(lián)立解得：轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為：l=s_磁+s_電=（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$+4nx₀，（n，0，1，2，3…）．
答：（1）粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為$\sqrt{2}$v₀；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q{x}_{0}}$；
（3）粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在屏上的過(guò)程中的軌跡長(zhǎng)度為（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$+4nx₀（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要明確帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)；第一問(wèn)題可以參考豎直電場(chǎng)進(jìn)行分析．