Question

10．為了應(yīng)對(duì)地球上越來(lái)越嚴(yán)重的霧霆天氣和能源危機(jī)，各國(guó)科學(xué)家正在對(duì)太空電站的可行性和關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行研究．太空電站又稱空間太陽(yáng)能電站，是指在地球同步軌道上運(yùn)行的超大型航天器，其上安裝著巨大的太陽(yáng)能電池板或激光器，將產(chǎn)生的電能通過(guò)微波或激光以無(wú)線能量傳輸方式傳輸?shù)降孛妫�假設(shè)若干年后，人類第一臺(tái)太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知該太空電站經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于太空電站運(yùn)行的周期），它運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，它與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），引力常量為G，則下列說(shuō)法中正確的是（　　）

• A． 太空電站在軌道上運(yùn)行的速度大于地球的第一宇宙速度
• B． 太空電站軌道所在處的加速度小于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的向心加速度
• C． 太空電站的環(huán)繞周期為$\frac{βt}{2π}$
• D． 地球的質(zhì)量為$\frac{s^3}{{G{t^2}β}}$

Answer 1

分析 已知該太空電站經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于太空電站運(yùn)行的周期），它運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，它與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），根據(jù)線速度和角速度定義可求得太空站的線速度和角速度，然后根據(jù)v=ωr可求得軌道半徑；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求求得地球的質(zhì)量．

解答 解：該太空電站經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于太空電站運(yùn)行的周期），它運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，它與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），
則太空站運(yùn)行的線速度為$v=\frac{s}{t}$
角速度為：$ω=\frac{β}{t}$
根據(jù)v=ωr得軌道半徑為：$r=\frac{v}{ω}=\frac{\frac{s}{t}}{\frac{β}{t}}=\frac{s}{β}$
A、人類第一臺(tái)太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$，解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，半徑越小，線速度越大，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故太空電站在軌道上運(yùn)行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；
B、人類第一臺(tái)太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，軌道半徑大于地球自轉(zhuǎn)物體半徑，根據(jù)a=ω²r可知，太空電站軌道所在處的加速度大于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的向心加速度，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)$T=\frac{2π}{ω}$得太空電站的環(huán)繞周期為$T=\frac{2π}{\frac{β}{t}}=\frac{2πt}{β}$，故C錯(cuò)誤；
D、人類第一臺(tái)太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，即：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，解得：$M=\frac{{ω}^{2}{r}^{3}}{G}=\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}β}$，故D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考察勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度的定義，以及其關(guān)系．人類第一臺(tái)太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，即：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，可求得中心天體的質(zhì)量，屬于基本題目，關(guān)鍵是熟練記憶公式．