Question

7．粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感應強度為B₀的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度為E₀的勻強電場，一束質量為m、電荷量為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔O處沿中軸射入此區(qū)域，研究人員發(fā)現(xiàn)有些粒子能沿中軸線運動并從擋板上小孔P射出此區(qū)域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時的速度與預期選擇的速度的最大偏差量為△v，通過理論分析知道，這些帶電粒子的運動可以看作沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運動和以速度v₂在兩板間的勻強磁場找那個做勻速圓周運動的合運動，v₁、v₂和△v均為未知量，不計帶電粒子重力及粒子間相互作用．
（1）若帶電粒子能沿中軸線運動，求其從小孔O射入時的速度v₀；
（2）增加磁感應強度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應滿足什么條件？
（3）磁感應強度為B₀時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，水平金屬板的長度L應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由粒子受力平衡求解即可；
（2）求出粒子做勻速圓周運動的速度，然后再根據(jù)洛倫茲力作向心力求得圓周運動的半徑，進而得到d的條件；
（3）求出粒子做圓周運動的周期，然后分析提高分辨率的條件，再聯(lián)立勻速直線分運動將其轉化為距離．

解答 解：（1）粒子受電場力（方向：豎直方向）和洛倫茲力的作用，沿中軸線運動，則帶電粒子受力平衡，所以有qE₀=B₀v₀q，
所以，${v}_{0}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感應強度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，則粒子不能沿中軸線運動，那么，帶電粒子的運動可以看作沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運動和以速度v₂在兩板間的勻強磁場做勻速圓周運動的合運動；
勻速圓周運動初始時刻速度方向水平，向心力方向豎直，所以，任一粒子將在中垂線的一邊運動；
所以，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，則兩板間距d的一半$\frach3d7fhn{2}$應大于勻速圓周運動的直徑；
對于沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運動有：qE₀=Bv₁q，所以，${v}_{1}=\frac{{E}_{0}}{B}$；
所以，對于以速度v₂在兩板間的勻強磁場做勻速圓周運動有$\left\{\begin{array}{l}{{v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}}\\{B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}}\end{array}\right.$；
所以，$R=\frac{m{v}_{2}}{Bq}=\frac{m}{Bq}（\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}-\frac{{E}_{0}}{B}）$=$\frac{m{E}_{0}}{q}•\frac{B-{B}_{0}}{{B}^{2}{B}_{0}}$；
設B=kB₀，則$R=\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}（-\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{k}）=-[（\frac{1}{k}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}]\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，當k=2時，R取得最大值，${R}_{max}=\frac{m{E}_{0}}{4q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，則兩板間距d應大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感應強度為B₀時，粒子做圓周運動的周期$T=\frac{2πR}{{v}_{2}}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
磁感應強度為B₀時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，則應使不能沿軸線運動的粒子偏離軸線有最大距離，即圓周分運動完成半周期的奇數(shù)倍，則$L={v}_{0}（2n-1）\frac{T}{2}$=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}×（2n-1）×\frac{πm}{{B}_{0}q}$=$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$；
答：（1）若帶電粒子能沿中軸線運動，則其從小孔O射入時的速度v₀為$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感應強度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感應強度為B₀時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，水平金屬板的長度L為$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$．

點評 在利用運動的合成與分解時，力與速度滿足相同的疊加法則，所以，洛倫茲力也可以根據(jù)速度的分解而分解．