Question

3．如圖所示，讓擺球從圖中的A位置由靜止開始下擺，初始時(shí)細(xì)線拉直且與豎直方向夾角為θ=60°，當(dāng)小球擺到最低點(diǎn)B位置時(shí)線恰好被拉斷．設(shè)擺長為L，懸點(diǎn)O到地面的豎直高度為H，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）擺球在B位置時(shí)的速度； 
（2）細(xì)線所能承受的最大拉力T；
（3）若保持懸點(diǎn)O與地面距離H及θ角不變，改變繩長L，且維持小球的靜止釋放，求當(dāng)L為多少時(shí)，懸點(diǎn)O正下方的C與落地點(diǎn)D之間的距離最大，最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）對AB過程由動(dòng)能定理可求得B點(diǎn)的速度；
（2）根據(jù)向心力公式可求得繩子需要的拉力；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得水平位移的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)規(guī)律可求得最大值．

解答 解：（1）對小球由A到B運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_B²               
解得：v_B=$\sqrt{gL}$
（2）當(dāng)小球擺到B位置時(shí)，以小球?yàn)檠芯繉ο?br />T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：T=2mg
（3）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有
H-L=$\frac{1}{2}$gt²
x=v_Bt
聯(lián)立得：x=$\sqrt{2HL-2{L}^{2}}$=$\sqrt{-2（L-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{2}}$
由數(shù)學(xué)規(guī)律可得：
L=$\frac{H}{2}$時(shí)，x最大，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$H；
答：（1）擺球在B位置時(shí)的速度為$\sqrt{gL}$
（2）細(xì)線所能承受的最大拉力為2mg；
（3）當(dāng)L為$\frac{H}{2}$時(shí)，懸點(diǎn)O正下方的C與落地點(diǎn)D之間的距離最大，最大距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$H

點(diǎn)評 本題考查動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，要注意掌握第三問中極值的計(jì)算方法，要靈活應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析求解．