Question

7．如圖，兩質(zhì)量均為m、電荷量分別為q、2q的帶負電粒子A、B在同一圓周上繞位于圓心O點的點電荷+Q做順時針方向、半徑為R的勻速圓周運動，A、B所在半徑間的夾角為α．不計彼此間的萬有引力以及A、B間的庫侖力．已知靜電力常量為k．求：
（1）粒子A繞O點做圓周運動的動能；
（2）粒子B繞O點做圓周運動的周期；
（3）經(jīng)過多少時間粒子A、B第一次相遇．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)牛頓第二定律，結合引力提供向心力，即可求解；
（3）根據(jù)以上所求得周期表達式，結合B必須比A多繞（2π-α），才能追上A，從而即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)引力提供向心力，由牛頓第二定律，則有：$\frac{kQq}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：E_KA=$\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$=$\frac{KQq}{2R}$；
（2）根據(jù)引力提供向心力，則有：$\frac{KQ•2q}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}R$
解得：T_B=2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{2kQq}}$；  
（3）同理，根據(jù)引力提供向心力，則有：T_A=2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$，
由題意可知，B必須比A多繞（2π-α），才能追上A；
因此（2π-α）=（ω_B-ω_A）•△t；
根據(jù)$ω=\frac{2π}{T}$，可得：（2π-α）=（$\frac{2π}{{T}_{B}}-\frac{2π}{{T}_{A}}$）△t．
解得：△t=$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$；
答：（1）粒子A繞O點做圓周運動的動能$\frac{KQq}{2R}$；
（2）粒子B繞O點做圓周運動的周期2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{2kQq}}$；
（3）經(jīng)過多少時間粒子A、B第一次相遇$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$．

點評 考查牛頓第二定律的應用，掌握萬有引力定律與向心力表達式的內(nèi)容，注意當能相遇時，B比A多繞多少角度是解題的關鍵．