Question

15．美國(guó)宇航局（NASA）在官網(wǎng)上公布了一張“好奇號(hào)”火星車(chē)于2016年1月19日傳回的一張“自拍照”，在照片中，“好奇號(hào)”身處沙丘，邊緣還有裸露的巖層．若“好奇”號(hào)登陸火星后，在火星的表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球．經(jīng)過(guò)t時(shí)間小球落回了拋出點(diǎn)．已知火星的半徑R，引力常量G，“好奇”號(hào)繞火星運(yùn)動(dòng)的周期T，且把“好奇”號(hào)繞火星的運(yùn)動(dòng)看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求：
（1）火星的質(zhì)量M及密度ρ．
（2）“好奇”號(hào)繞火星運(yùn)行的軌道半徑r．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出火星表面的重力加速度，根據(jù)火星表面的物體重力等于萬(wàn)有引力，即可求出火星的質(zhì)量M，由密度公式求出火星的密度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，即可求出“好奇”號(hào)繞火星運(yùn)行的軌道半徑r

解答 解：（1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
根據(jù)火星表面物體重力等于萬(wàn)有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
火星的質(zhì)量為：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$
密度有：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}×\frac{3}{4π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力定律提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$
答：（1）火星的質(zhì)量M為$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$及密度ρ為$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$．
（2）“好奇”號(hào)繞火星運(yùn)行的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確探測(cè)器的向心力來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解，同時(shí)要注意在火星表面，重力等于萬(wàn)有引力，基礎(chǔ)題目