Question

3．為了探索月球的奧秘，在1961年到1968年期間美國共發(fā)射了15個(gè)月球探測器．期間發(fā)射的阿波羅7號(hào)月球軌道環(huán)繞器在離月球表面為h₁的高度上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T₁；阿波羅10號(hào)在離月球表面為h₂ 的高度上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T₂．若月球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略月球的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G．僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出（　　）

• A． 阿波羅7號(hào)的質(zhì)量
• B． 阿波羅10號(hào)的質(zhì)量
• C． 月球?qū)Π⒉�羅10號(hào)的引力
• D． 月球表面的重力加速度

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供探測器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，列出等式，化簡計(jì)算質(zhì)量和半徑，再根據(jù)根據(jù)密度公式求出密度．

解答 解：令月球的半徑為R，則根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（R+{h}_{1}）^{2}}=m（R+{h}_{1}）\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$
$G\frac{mM}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
可解得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+{h}_{1}）^{3}}{G{T}_{1}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+{h}_{2}）^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
由此式可解得月球的半徑R=$\frac{\root{3}{（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}}{h}_{2}-{h}_{1}}{1-\root{3}{（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}}}$
AB、根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量，不能計(jì)算環(huán)繞天體的質(zhì)量，故AB錯(cuò)誤；
C、因?yàn)椴恢�道阿波羅10號(hào)的質(zhì)量，故無求得月球?qū)ζ湟�力大�。?br />D、代入月球半徑表達(dá)式可以求得月球的質(zhì)量M，再根據(jù)$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可計(jì)算得到月球表面的重力加速度$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．要求解一個(gè)物理量大小，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先表示出來，再根據(jù)已知量進(jìn)行判斷．