Question

9．如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，x軸沿水平方向，x＞0的區(qū)域有垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁；第三象限內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向上、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)；x＞0的區(qū)域固定一與x軸成θ=30°角的絕緣細(xì)桿，一個(gè)穿在細(xì)桿上的帶電小球a沿細(xì)桿勻速下滑，從N點(diǎn)恰能沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)到x軸上的Q點(diǎn)，且速度方向垂直x軸．已知Q點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)，B₁=$\frac{7E}{2}$$\sqrt{\frac{3}{5πg(shù)L}}$，B₂=$\frac{E}{2}$$\sqrt{\frac{5π}{gL}}$，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球a的電性及其比荷；
（2）求小球a與絕緣細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）當(dāng)小球a剛離開N點(diǎn)時(shí)，從y軸正半軸上距離原點(diǎn)O為h=$\frac{40πL}{9}$的P點(diǎn)（圖中未畫出）
以某一初速度水平拋出一個(gè)不帶電的絕緣小球b，小球b剛好運(yùn)動(dòng)到x軸上與向上運(yùn)動(dòng)的小球a相碰，求小球b拋出時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡條件求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）帶電小球在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到半徑，然后結(jié)合牛頓第二定律求解速度；帶電小球a穿在細(xì)桿上勻速下滑，受重力、支持力和洛倫茲力，三力平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件并結(jié)合合成法列式求解；
（3）絕緣小球b做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式求解運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間；小球a在第3象限做圓周運(yùn)動(dòng)，第2象限做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，分階段求解出其經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間，然后根據(jù)等時(shí)性列式．

解答 解：（1）由帶電小球在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可得：帶電小球帶正電，且mg=qE，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$；
（2）帶電小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，有：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系有：R+Rsinθ=L，所以R=$\frac{2}{3}L$；
所以：v=$\sqrt{\frac{5πg(shù)L}{9}}$
帶電小球在桿上勻速時(shí)，由平衡條件有：mgsinθ=μ（qvB₁-mgcosθ）
解得：μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）帶電小球在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16πL}{5g}}$
帶電小球第一次在第二象限豎直上下運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t₀=$\frac{2v}{g}$=$\sqrt{\frac{20πL}{9g}}$
絕緣小球b平拋運(yùn)動(dòng)垤x軸上的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{80πL}{9g}}$
兩球相碰有：t=$\frac{1}{3}T$+n（t₀+$\frac{T}{2}$）
聯(lián)解得：n=1
設(shè)絕緣小球b平拋的初速度為v₀，則：2R+L=v₀t
解得：v₀=$\frac{7}{4}\sqrt{\frac{gL}{5π}}$．
答：（1）帶電小球帶正電，其比荷為$\frac{g}{E}$；
（2）小球a與絕緣細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）小球b拋出時(shí)的速度大小為$\frac{7}{4}\sqrt{\frac{gL}{5π}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題多物體、多過(guò)程、多規(guī)律，是典型的三多問(wèn)題；關(guān)鍵是明確兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段根據(jù)牛頓第二定律、平衡條件、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解．