Question

如圖甲所示，A、B是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板，相距為L(zhǎng)，加上周期為了的交流電壓，在兩板間產(chǎn)生交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知B板的電勢(shì)為零，A板的電勢(shì)U_A隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示，其中U_A最大值為U₀，最小值為-2U₀．在靠近B板的P點(diǎn)處，不斷地產(chǎn)生電量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的微粒，各個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生帶電微粒的機(jī)會(huì)均等，這種微粒產(chǎn)生后，從靜止出發(fā)在電場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)，設(shè)微粒一旦碰到金屬板，它就附在板上不再運(yùn)動(dòng)，且其電量同時(shí)消失，不影響A、B板的電壓．已知上述的T、U₀、L、g和m等各量正好滿足等式L²=3U₀q（T/2）²/16m，若在交流電壓變化的每個(gè)周期T內(nèi)，平均產(chǎn)生400個(gè)上述微粒．求（不計(jì)重力，不考慮微粒之間的相互作用）：
（1）從t=0開始運(yùn)動(dòng)的微粒到達(dá)A板所用的時(shí)間．
（2）在t=0到t_c=T/2這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒中，有多少個(gè)微粒可到達(dá)A板．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中在電場(chǎng)力的作用下線加速，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的距離求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）粒子先加速運(yùn)動(dòng)再減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A板時(shí)速度恰好見為零，此時(shí)是恰好還能到達(dá)A的粒子，在此之前的粒子都可以到達(dá)A板．

解答：解：（1）當(dāng)電壓為U₀時(shí)，粒子的加速度為：a₁=

U0q

lm

，
當(dāng)電壓為-2U₀時(shí)，粒子的加速度為：a₂=-

2U0q

lm

=-2a₁…①
用a₁=

U0q

lm

代入已知式L²=3U₀q

1

16m

（

T

2

）²，
解得：l=3a₁

1

16m

（

T

2

）²…②
在t=0時(shí)刻加速運(yùn)動(dòng)的粒子，經(jīng)

1

2

T時(shí)間的位移為：
L=

1

2

a₁（

1

2

T）²＞l…③
說明從靜止開始運(yùn)動(dòng)的微粒到達(dá)A板的時(shí)間小于

1

2

T，
所以，從t=0開始運(yùn)動(dòng)的微粒到達(dá)A板時(shí)一直處于加速狀態(tài)，且加速度為a₁，到達(dá)A板的時(shí)間為：
t=

2 a1

=

2ml2 U0q

．
（2）設(shè)在0～

1

2

T時(shí)間內(nèi)，在t=t₁時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)的粒子經(jīng)△t₁時(shí)間在電壓為U₀加速，然后在電壓為-2U₀減速一段時(shí)間到達(dá)A板，
設(shè)加速階段位移為d₁，減速階段運(yùn)動(dòng)位移為d₂，則
l=d₁-d₂…④
d₁=

1

2

a₁（△t₁）² …⑤
d₂=（0-υ₁²）

1

2a2

=（0-（a₁△t₁）²）

1

2a2

…⑥
聯(lián)立①②④⑤⑥解得△t₁=

1

4

T                                                
t₁=

1

2

T-△t₁=

1

4

T                                          
即從0～

1

4

T時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的粒子均可到達(dá)A板，設(shè)0～

1

2

T時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的粒子有n個(gè)粒子到達(dá)A板，則n=

400

T

×

T

4

=100（個(gè)）．
答：（1）從t=0開始運(yùn)動(dòng)的微粒到達(dá)A板所用的時(shí)間為

2ml2 U0q

．
（2）在t=0到t_c=

1

2

T這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒中，有100個(gè)微�？傻竭_(dá)A板．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子的運(yùn)動(dòng)的過程比較復(fù)雜，粒子在電場(chǎng)中先加速運(yùn)動(dòng)再減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A板時(shí)速度恰好見為零，此時(shí)是恰好還能到達(dá)A的粒子．