Question

10．一半徑為R的$\frac{1}{4}$球體放置在水平面上，球體由折射率為$\sqrt{3}$的透明材料制成．現(xiàn)有一束位于過(guò)球心O的豎直平面內(nèi)的光線(xiàn)，平行于桌面射到球體表面上，折射入球體后再?gòu)呢Q直表面射出，如圖所示．已知入射光線(xiàn)與桌面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光在真空中的傳播速度為c，求：
（i）出射角θ；
（ii）光穿越球體的時(shí)間．

Answer 1

分析 （i）畫(huà)出光路圖，作出法線(xiàn)，由幾何知識(shí)求出光線(xiàn)射到球體表面的入射角，由折射定律求出折射角．由幾何知識(shí)確定出光線(xiàn)在豎直表面上的入射角，即可由折射定律求解出射角θ．
（ii）由v=$\frac{c}{n}$求出光線(xiàn)在球體中的傳播速度，由幾何關(guān)系求出光線(xiàn)在球體中的傳播距離，再求解時(shí)間．

解答 解：（i）設(shè)入射光線(xiàn)與41球體的交點(diǎn)為C，連接OC，OC即為入射點(diǎn)的法線(xiàn)．因此，圖中的角α為入射角．過(guò)C點(diǎn)作球體水平表面的垂線(xiàn)，垂足為B，如圖所示．

依題意，∠COB=α
又由△OBC知：sin α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$      
設(shè)光線(xiàn)在C點(diǎn)的折射角為β，
由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}$=n
聯(lián)立得 β=30°                
何關(guān)系知，光線(xiàn)在球體的豎直表面上的入射角γ如圖所示為 γ=30°
由折射定律得  $\frac{sinθ}{sinγ}$=n
解得 θ=60°．   
（ii）由幾何知識(shí)知△ACO為等腰三角形，故2AC•cos 30°=R         
光線(xiàn)在球體內(nèi)的傳播速度為 v=$\frac{c}{n}$
設(shè)光穿越球體的時(shí)間為t，則t=$\frac{AC}{v}$
聯(lián)立得 t=$\frac{R}{c}$
答：
（i）出射角θ是60°；
（ii）光穿越球體的時(shí)間是$\frac{R}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題作光路圖時(shí)，要注意當(dāng)光線(xiàn)從球體入射時(shí)，法線(xiàn)就是入射點(diǎn)與球心的連線(xiàn)；當(dāng)光線(xiàn)射出時(shí)，法線(xiàn)與界面垂直，本題兩次使用折射定律解題．