Question

20．如圖所示，AB為傾角θ=37°的粗糙斜面軌道，通過(guò)一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，質(zhì)量為2m的小球乙靜止在水平軌道上，質(zhì)量為m的小球甲以速度v₀與乙球發(fā)生彈性正碰．若軌道足夠長(zhǎng)，兩球能發(fā)生第二次碰撞，求乙球與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 由于兩球發(fā)生彈性碰撞，則動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后兩球的速度大小，根據(jù)能能定理得出碰后乙球返回斜面底端的速度，抓住該速度大于甲的速度，得出動(dòng)摩擦因數(shù)的范圍．

解答 解：設(shè)碰后甲的速度為v₁，乙的速度為v₂，m₂=m₁=2m由動(dòng)量守恒和能量關(guān)系：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂①
$\frac{1}{2}{m_1}v_0^2=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$②
聯(lián)立①②解得：${v_1}=\frac{{{m_1}-{m_2}}}{{{m_1}+{m_2}}}{v_0}=-\frac{1}{3}{v_0}$
${v_2}=\frac{{2{m_1}}}{{{m_1}+{m_2}}}{v_0}=\frac{2}{3}{v_0}$
設(shè)上滑的最大位移大小為s，滑到斜面底端的速度大小為v，由動(dòng)能定理：（m₂gsin37°+μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$，③
（m₂gsin37°-μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$，④
聯(lián)立③④解得：$（\frac{v}{v_2}{）^2}=\frac{3-4μ}{3+4μ}$
乙要能追上甲，則：$v＞\frac{v_0}{3}$⑤
解得：μ＜0.45．
故動(dòng)摩擦因數(shù)的范圍為：0＜μ＜0.45．
答：乙球與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍為0＜μ＜0.45．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒、能量守恒、動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道彈性碰撞的特點(diǎn)，以及兩球發(fā)生第二次碰撞的條件是解決本題的關(guān)鍵．