Question

（2010?湘潭一模）我國(guó)在2010年實(shí)現(xiàn)探月計(jì)劃--“嫦娥工程”．同學(xué)們也對(duì)月球有了更多的關(guān)注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r，萬(wàn)有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關(guān)系式；物體在地球表面上時(shí)，由重力等于地球的萬(wàn)有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，根據(jù)g_月=

GM月

r2

求出月球的質(zhì)量M_月．

解答：解：
（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式：
   G

M月M

r2

=M月(

2π

T

)2r（1）
   mg=G

Mm

R2

（2）
解（1）（2）得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)題意：
得到  t=

2v0

g月

         （3）
又g_月=

GM月

r2

          （4）
解（3）（4）得：M_月=

2v0r2

Gt

      
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是

3	gR2T2 4π2

；
    （2）月球的質(zhì)量M_月=

2v0r2

Gt

．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．